关注正方体中的计数问题
时间：2025-04-02
中学数学杂志2011年第11期错误．
综上所述知，本题应选D．
432
例5对a∈R，方程x+ax+3x+ax+1=0的一切根都是虚数，且它们的模皆不为1，求实数a．由于方程的系数关于中间项对称相等，
1
进一步观察发现，利用x与的对称性构造新的对
x
解析
称式，同时可使方程变为一元二次型的方程．
2
因为x∈R，所以x≠0，方程两边同除以x，得x2+ax+3+
（x+
1
）x
2
ZHONGXUESHUXUEZAZHI
同的取法有（
A．30
解析
）种．B．33
C．46D．39
如图4，显然3个
侧面内满足题设条件的取法
数相同，即具有对称性．在面ABC内，A以外的任意5点取3点均与A在同一平面内，有C5
BD、AB、CD、种取法．又AC、
AD与BC的中点中的任意4
3
点均共面，故共有3C5+3×1
图4
3
a1
+2=0，即xx+a（x+
1
）+1=0x
1
R，于是应有Δ=x
=33种．故应选B．
B、C、D、E五人站成一排，例7A、如果B必须
B可以不相邻），那么不同的站法站在A的右边（A、有（
）种．
A．24B．60解析
C．90
D．120
由于|x|≠1，所以x+a2–4＜0，即－2＜a＜2．
从上述解答过程可以看出，整个过程处
处体现了一种对称之美．
点评例6
已知四面体的一个顶点A，从其它顶点与
棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不
因为A站在B右边和B站在A右边的情
况的机会完全相等，由这种对称原理知，所求的排列数为
15
A=60种，故应选B．25
关注正方体中的计数问题
湖南省武陵源一中
427400
高
飞
段宏杰
正方体是最完美的几何体之一，其中点线面的位置关系、数量特征极具典型性、代表性．利用正方体的点，线，面来考查排列、组合、概率知识是高考的一个热点，这类题也正好体现了高考由能力立意及在知识网络交汇处设计试题的精神，正方体的八个顶点，十二条棱，六个表面可设计出内本文将举例说明．容丰富的考题，1线线记数问题
，如果两条异面直线称作“一对”那么在
正方体的十二条棱中共有几对异面直线？解如图1，以AB为例，
DD1，与AB异面的有CC1，
B1C1，A1D1，因为各棱有相同的位置，共12条棱，所以异面
12×4
=24（对）．直线共有2
评注例1
面直线有n条，再去掉重复的即可．2线面关系计数问题
正方体各棱中点及顶点共20个点，过这
任意两点的直线中与面A1BC1平行的直线有多少条？
解析如图2所示：ΔACD1所在平面平行面A1BC1，D出发的三分别从B、条棱的中点确定平面与面A1BC1平行，F、G、H、中点E、M、N所构成的平面与面A1BC1平行，从而易知这样的
图2
例2
2
直线共有3×3+C6=9+15=24（条）．
图1
评注本题由面面平行探求线面平行是求解的关键，较好地考查了空间三种平行关系的相互转化问题．
例3
如果一条直线与一个平面垂直，那么称
“正交线面对”，此直线与平面构成一个在一个正方
这是一个计数问题，正方体的各棱具有
相同的位置关系，故以一条棱为基本量考察与其异
ZHONGXUESHUXUEZAZHI
中学数学杂志2011年第11期
正方体的八个顶点，每两个顶点的连线
中异面的有对．
4
由上题知八个顶点可确定C8－12=58个
四面体，每一个四面体有3对异面直线，故共有3×
体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平
“正交线面对”的个数是．面构成的
分析解
本题的实质就是寻找线面垂直的对数．由两点确定的直线，可以是棱所在的直线，
例8解
也可是面对角线所在直线，故可分两种情况讨论．（1）
“正交线面对”对于每一条棱，都可以与两个侧面构成共有12条棱，故这样的“正交线面对”有2×12=
24（对）；（2）对于每一面对角线，都可以与一个对角“正交线面对”，面构成共有36个，故填36．
“正交线评注本题是立体几何中的新定义题面对”是学生在中学不曾学过的概念，应紧扣定义来解题．
3面面关系的计数问题
从正方体6个面中选取3个面，其中2个
面不相邻的选法有多少种？
1
解首先选不相邻的2个面共有C3种（三个对面），然后从余下的4个面中任选一个面，不同选法
111
有C4种，所以不同的选法有C3·C4=12种．
58=174对异面直线．
评注四面体的个数的求解是本题计算的转
折点，对应思想的运用是求解的关键．7
填数问题
例9如图3是一个正
方体纸盒的平面展开图，把1，2，3，4，5，6分别填入六个正方形后，使得还原成正
相对面上的两个数方体后，
的和相等，当正方体纸盒6个面的数都填满时不同的
填法共有多少种？
图3
例4
解析把对面一一标出来，即图中的Ⅰ与Ⅰ'，Ⅱ与Ⅱ'，Ⅲ与Ⅲ'均为对面和相等的有3对数（1，6），（2，5），（3，4），（1，6）有3种选择，填数时，又1，6可交换位置，（2，5）有2×2=故有3×2=6种，4种，（3，4）有2种，由分步计数原理有6×4×2=48种．
评注本题解决关键突破两点：1．找出对面位置；2．对数字正确分组．8
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