各大学高数一期末考试题及答案

时间:2025-04-04

高数期末试题

第一学期高等数学期末考试试卷答案

一.计算题(本题满分35分,共有5道小题,每道小题7分),

x

1 cosx 2x

1.求极限lim.

x 0

sin3x

解:

xx 1 cosx x1 cosx 2 1 1xx2 1 cosx 22 lim lim lim333x 0x 0x 0sinxxx

1 cosx

xln 2

s 1 cox

xln 2

lim

x 0

e 1

x3

lim

x 0

e

1 lim

x 0xln

2

xln

1 cosx1 cosx

ln

lim32x 0xx

lim

sinx1

x 01 cosx2x4

x2

2.设x 0时,f x 与是等价无穷小,

2

解:

f t dt与Ax

x

k

等价无穷小,求常数k与A.

由于当x 0时,

f t dt与Axk等价无穷小,所以lim

x 0

f t dt

x

Ax

k

1.而

2

1x31 ftdtfx 2

fx23 x23 x0 lim lim lim2kk 1x 0x 0x 0 AxAkxAkxk 1

3

x 2

11

1k 1,A 所以,lim.因此,.

x 06Akxk 16

22

33

limx x lim1 k 1k 1x 0x 0 6Akx6Akx

3.如果不定积分

x 1 1 x2

2

x2 ax b

dx中不含有对数函数,求常数a与b应满足的条件.

解:

高数期末试题

x 1 1 x

2

x2 ax b

2

化为部分分式,有

x2 ax b

x 1 21 x2ABCx D

, 22

x 1x 11 x

因此不定积分

x 1 1 x2

2

x2 ax b

dx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数

A C 0.

x2 ax b

x 1 21 x2BDB 1 x2 D x 1 . 2222

1 xx 1x 11 x2

所以,有x2 ax b B1 x2 D x 1 B D x2 2Dx B D .

2

比较上式两端的系数,有1 B D,

5

2

a 2D,b B D.所以,得b 1.

5.计算定积分min1,

x 2 dx.

解: min1,

x 2

x 2

1

x 2 1

x 2 1

1 2 x

x 2 1

52

x 11 x 2

2 x 3x 3

x 2 dx 1dx 2 x dx x 2 dx

1

2

3

所以,min1,

12

52

13. 8

5.设曲线C的极坐标方程为r asin 解: 曲线r asin

3

3

3

,求曲线C的全长.

3

一周的定义域为0

3

2

2

3

,即0 3 .因此曲线C的全长为

6

s

r r d

2

asin

32 asincosd asind a.

333320

2

4

2

3

高数期末试题

二.(本题满分45分,共有5道小题,每道小题9分),

6.求出函数 解:

f x lim

sin x n 1 2x2n

的所有间断点,并指出这些间断点的类型.

1

sin xx 2 11

x sin x 22 fx lim 2n n 1 2x11.

x

2 2

1 0x 2

因此x1

11

与x2 是函数f x 的间断点. 22

x

1

2

x

12

x

12

limf x lim0 0,lim f x lim sin x 1,因此x

x

1

2

1

是函数f x 的第一类2

可去型间断点.

x 1,lim f x lim 0 0,因此x lim f x lim sin

x

1

2

x

12

x

12

x

12

1

是函数f x 的第一类可去2

型间断点.

7.设 是函数f x arcsinx在区间 0,值”,求极限lim

b 0

b 上使用Lagrange(拉格朗日)中值定理中的“中

b

解:

f x arcsi在区间 0,xn

b 上应用Lagrange中值定理,知存在 0,b ,使得

arcsinb arcsin0

b 所以, 2 1 .因此,

arcsinb

2

1

2

b 0 .

b 1 2

2arcsbi n b2arcsinb lim2 lim lim2

22b 0bb 0b 0bbarcsbin

令t arcsinb,则有

2

高数期末试题

22

t2 sintt2 sint

li li2 li2 24b 0bt 0tsint 0tt

2

lim

t 0

2t sin2t2 2cos2t11 cos2t12sin2t1 lim li li t 04t312t26t 0t26t 02t3

所以,lim

b 0

b

1. 3

1 x

8.设f x 解:

e

y 2 y

dy,求 f x dx.

1

f x dx xf x xf x dx

10

1 x

y 2 y edy中,令x 1,得 0

11

在方程f x

1 1

f 1

e

y 2 y

dy ey 2 y dy 0.

2

再在方程f x

1

1 x

y 2 y edy两端对x求导,得f x e1 x, 0

因此,

f x dx xf x xf x dx xf x dx

1

1

11

xe

1 x

2

1

dx e xe x

2

1 12

dx e e x e 1 .

2 02

1

9.研究方程e ax 解:

设函数f x axe

2 x

x2

a 0 在区间 , 内实根的个数.

1,f x 2axe x ax2e x ax 2 x e x.

x2 2.

令f x 0,得函数f x 的驻点x1 0,由于a 0,所以 limf x limaxe

x

x

2 x

1 ,

limf x limaxe

x

x

2 x

x22x2

1 alimx 1 alimx 1 alimx 1 1.

x ex ex e

高数期末试题

因此,得函数f x 的性态

2

e2

⑴ 若4ae 1 0,即a 时,函数f x ax2e x 1在 ,0 、 0,2 、 2, 内

4

各有一个零点,即方程ex ax2在 ,

2

内有3个实根.

e2

⑵ 若4ae 1 0,即a 时,函数f x ax2e x 1在 ,0 、 0, 内各有一个

4

零点, …… 此处隐藏:1764字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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