1102002班春季学期工科数学分析期中考试模拟试题答案

1102002班工数期中模拟考试

一、填空题（共8分） 1、（1分）函数

的定义域是_ D＝{(x，y)：x2＋y2≠1，|y|≤|x|，x≠0}

解答：要使函数有意义，必须：，

即

2

2

因此，该函数的定义域是D＝{(x，y)：x＋y≠1，|y|≤|x|，x≠0}

x ucosv

2、 （1.5分）已知函数z z x,y 由参数方程: y usinv,给定，试求

z uv

z x

z

y=vcosv sinv vsinv cosv

解这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法. x,y是自变量,u,v是中间变量(u,v是x,y的函数), 先由z uv得到

z x z y

z u u x z u u y

z v v x z v v y

v v

u x u y

u u

v x v y

u u(x,y)

u,v是由方程 的x,y的隐函数，在这两个等式两端分别关于x,y求偏导数，得

v v(x,y)

0 cosv usinv 1 cosv usinv y y x x，

ucosv ucosv 1 sinv 0 sinv

y y x x

u v sinu u vcosv得到 cosv, , sinv,

x xu y xu

将这个结果代入前面的式子, 得到

z u

x

v

x

u

v x

vcosv sinv

与

z y

v

u y

u

v y

vsinv cosv

3x 2y z 522

3、（1分）曲面S:2x 2y 2z 1上切平面与直线L: 平行的切点的

x y z 0

2x 8y 5

轨迹方程为 2 2

2x 2y 2z 1

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x x

解: 直线L: y 4x 5的方向： 3 2 1 i 4j 5k.

z 5x 511

切点为P x,y,z 处曲面S的法向：n 4xi 4yj 2k.

所求轨迹：n n 4x 16y 10 0,

i

j

k

2x 8y 5

轨迹为空间曲线： 2 2

2x 2y 2z 1

4、（1分）I 解：

I

a

x y 1

x by dxdy a

xy1

x by dxdy

a b2

x

x y1

y dxdy 4

a b2

x y dxdy 4 a b

x y 1

x 0, y 0

x y 1x 0, y 0

xdxdy

5、（1分）设f(x，y)在点（0，0）附近有定义，且 ′ 0,0 =2， ′ 0,0 =3，则曲线 点（0，0，f(0，0)6、（1.5分）设f(t)连续，在t 0处可导，且f(0) 0，f (0) 3， lim

1t

3

2

= ( , )在

=0

t 0

22

f(x y)d 2

2

x y t

2

t tf(r) rdr d

2 f(r) rdr 0 2 f(t) t 0 0

lim lim解：原式 lim

233

t 0t 0t 03ttt

2 f(t)2 f(t) f(0)2 lim lim f (0) 2

t 0t 03t3t 037、（1分）设F=y′′+by′+cy，若已知F=0有两个线性无关的解 1= 2 , 2= 2 ，设f x = 2 2 ，写出F（x）=f（x）的通解形式（不用待定系数算出具体值）

2

2 2 2 22

二、选择题（每题1分，共5分） 1、设DI3

由

14

2

x y

2

22

1确定，若I1

D

1x y

2

2

d ，I2

D

(x y)d ，

22

ln(x

D

y)d ，则I1，I2，I3之间的大小顺序为（D）

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A．I1 I2 I3 B．I1 I3 I2 C．I2 I3 I1 D．I3 I2 I1 2、在极坐标系下，与累次积分 dx

10

1 x

2

1 x

2

f(x,y)dy相等的是（D）

3

1

A． d f(rcos ,rsin )rdr B． 2d f(rcos ,rsin )rdr

1

1

23

1

C． d f(rcos ,rsin )rdr D． 2d f(rcos ,rsin )rdr

2

11

3、下列说法正确的是（ D ）。 A. 若

、

有一个不存在则函数f(x，y)在点（x0，y0）处一定没有极值

B. 函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有C. 若

，则函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值

D. 可微函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有

4、方程xz + + 2 2 +1=0，根据隐函数存在定理，在（0，1，1）邻域内（D） A、能唯一确定一个单值二元函数z=z(x,y) B、能确定两个单值二元函数z=z(x,y)和x=x(y,z) C、能确定两个单值二元函数z=z(x,y)和y=y(x,z) D、能确定两个单值二元函数x=x(y,z)和y=y(x,z)

5、设f（0，0）=0，（x，y）不等于（0，0）时，f x，y =( 2+ 2)3/2，则f（x，y）在（0，

22

0）点是（D）

A、连续但偏导不存在 B、偏导存在但不连续 C、连续且可微 D、连续且偏导存在 三、计算、推导、证明题（共17分）

1 2222

(x y)sin,x y 0 22

x y1、（本题3分）设f(x,y) ，讨论在(0,0)处：

22 0,x y 0

（1）f(x,y)的偏导数是否存在？（2）f(x,y)是否可微？

( x)sin

lim

x 0

2

1( x)

2

解 （1）fx(0,0) lim同理fy(0,0) 0．

f(0 x) f(0,0)

x

x 0

x

0，

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（2）由于 z f(0 x,0 y) f(0,0) [( x)2 ( y)2]sin令

1( x) ( y)

2

2

z [fx(0 ,x0 )fy

则 li 0

因此，f(x,y)在点(0,0)可微．

(y0,0 )z]

m

si

2

1

bb

2、（本题3分）设f x, y 为恒大于零的连续函数，求证： f x dx

a

a

1f

x

x

dx b a

b, a

2

证明：采用二重积分的逆向思想。设D: a