大一高数(下)期末考试总结,期末考试必备

大学必备,名师归纳总结多数大学的大一的期末题型,大学期末考必备。

河北科技大学2003级 高等数学（下）期末考试试题1

一、填空题（共15分）

1. (5分) 微分方程y 3y 2y 0的通解为2. (5分) 设D是平面区域|x| 2,|y| 1,则 x(x y)d .

D

3. (5分) 设z f(exy),其中f可微,则dz二、选择题（共15分）

1. (5分) 若 anxn在x 2处收敛，则此级数在x 1处( ).

n 1

(A)条件收敛; (B)绝对收敛; (C) 发散; (D)收敛性不确定.

2. (5分) limun 0是级数 un收敛的( ).

n

n 1

(A)充分条件; (B)必要条件;

(C)充分必要条件; (D)既不充分也不必要的条件.

3. (5分) 已知(x2sinx ay)dx (ey 2x)dy在xoy坐标面上是某个二元 函数的全微分,则a = ( ).

(A) 0; (B) 2; (C) 1 ; (D) 2; 三、解答题（共56分）

1.（7分）已知曲线x t,y t2,z t3上P点处的切线平行于

平面x 2y z 4,求P点的坐标.

2.（7分）设z f(xy , ) , f具有二阶连续的偏导数,求

xy

2

z x y

2

.

3.（7分）计算曲线积分I

L

(esiny y)dx (ecosy 1)dy其中L为

xx

由点A(a , 0)至点O(0 , 0)的上半圆周y

ax x

2

(a 0).

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4.（7分）将f(x) arctanx展开成关于x的幂级数. 5.（7分）判别级数 ( 1)n

n 1

lnnn

n

的敛散性.

6.（7分）求幂级数

n 1

(x 3)n 3

n

的收敛域.

7.（7分）计算曲面积分

I

(x 1)dydz (y 2)dzdx (z 3)dxdy

333

其中 为球面x2 y2 z2 a2(a 0)的内侧.

8.（7分）试写出微分方程2y 5y x cos2x的特解形式. 四、应用题（8分）

在xoy坐标面上求一条过点(a,a)(a 0)的曲线,使该曲线的切线、两个坐标轴及过切点且垂直于y轴的直线所围成图形的面积为a2.

五、证明题（6分）

证明：曲面3z x g(y 2z)的所有切平面恒与一定直线平行，

其中函数g可导.

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评分标准（A卷）

一、(每小题4分)

1.y C1e

x

C2e

2x

; 2.

323

; 3.f (exy)exy(ydx xdy).

二、(每小题4分)1.(B);二、解答题

2.(B);3.(D).

2

1．(7分) 解 曲线在任一点的切向量为T 1,2t,3t ,┄┄┄┄2分

已知平面的法向量为n 1,2,1 ,┄┄┄┄3分

1

令T n 0,得t 1,t ,┄┄┄┄5分

3

于是

111

P1( 1,1, 1),p2( ,, ).┄┄┄┄7分

3927

解

2．(7分)

z x y

2

z x

23

3xf xyf1 xyf2 , ┄┄┄┄3分

34

yf22 ┄┄┄┄7分 4xf1 2xf2 xyf11

3．(7分) 解 添加直线段OA,与L构成闭曲线C,应用格林公式┄┄1分

C(esiny y)dx (ecos 1)dy dxdy

D

xx

a212

() a.┄┄┄4分 228

而

OA(esiny y)dx (ecosy 1)dy 0,┄┄┄┄6分 1

a 0 a.┄┄┄┄7分

88

11 x

2

2

xx

I

1

2

4．(7分) 解 f (x)

( 1)x

n 0

n2n

(x 1),┄┄┄┄3分

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f(x) ( 1)

n 0

n

12n 1

x

2n 1

┄┄┄┄6分

x [ 1,1].┄┄┄┄7分

n

( 1)

5．(7分) 解 lim

n

lnnn

limlnn ,

n

1n

(或 当n 3时,

( 1)lnn

n

n

lnnn

1n

) ┄┄┄┄2分

而

n 1

1n

发散,

n 1

( 1)

n

lnnn

发散. ┄┄┄┄4分

令un

lnnn

,则当n 3时un 1 un,且limun 0,┄┄┄┄6分

n

由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛. ┄┄┄┄7分 6．(7分) 解 lim

an 1an

n

lim

n 3

nn 1

n

(n 1) 3

, R 3, ┄┄┄┄3分 3

1

又当x 3 3,即x 0时,级数

n 1

( 1)n

n

收敛; ┄┄┄┄5分

当x 3 3,即x 6时,级数

n 1

1n

发散 ┄┄┄┄6分

故原级数的收敛域为[0,6). ┄┄┄┄7分 7. (7分) 解 利用高斯公式及球坐标有

2

2

2

I (3x 3y 3z)dv ┄┄┄┄3分

3 0sin d 0d 0r rdr┄┄┄┄5分

2 a22

大学必备,名师归纳总结多数大学的大一的期末题型,大学期末考必备。

12 a5

5

.┄┄┄┄7分

2

8. (7分) 解 特征方程为2r 5r 0,┄┄┄┄1分 特征根为r1 0,r2 . ┄┄┄┄2分

2

5

f(x) x

12

12

cos2x, ┄┄┄┄3分

12

0 是特征根, 2y 5y x y1 x(ax b),┄┄┄┄4分

*

的一个特解形式为

又0 2i不是特征根, 2y 5y

*

12

cos2x的一个特解形式为

y2 ccos2x dsin2x, ┄┄┄┄5分 故 原方程的一个特解形式为

y y1 y2 x(ax b) ccos2x dsin2x.┄┄┄┄6分

四、 解 由题意画出图形.设所求曲线方程为y f(x)，┄┄┄┄1分 点(x,y)处的切线方程为Y y y (X x), ┄┄┄┄2分 令Y 0,得切线在x轴的截距X x

***

yy

, ┄┄┄┄3分 y

梯形的面积为S

2

12

(x X)y

2

12

(2x

y

)y a,

2

即2(xy a)y …… 此处隐藏：764字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……