考研经典数学讲义第八章多元函数微分法

时间：2026-01-14

多元函数微分法

第八章多元函数微分法一、基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用一元函数微分学推广多元函数微分学

注意: 善于类比, 区别异同.1

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一、基本概念1. 多元函数 (1) 区域邻域 : U ( P0 ,δ), U ( P0 ,δ) 区域连通的开集n

P0x

R 空间 {( x1 , x2 xn ) xi R}

(2) 多元函数概念定义域及对应规律 n 元函数 u f ( P ) f ( x1 , x2 , , xn )

z x2 y2

P D R常用

二元函数 z f ( x , y ) (图形一般为空间曲面) 三元函数u f ( x , y, z ) (无几何直观)2

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arcsin( 3 x 2 y 2 ) 的定义域. 例1. 求 f ( x , y ) 2 x y

3 x2 y2 1 2 x 2 y 2 4 解: 2 2 x y 0 x y 所求定义域为:

y x

D {( x, y ) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.例2.设 f ( x , y )

解: f (4, ) 4sin 2, 2 2

x sin y , 求f (4, )、f ( x y , x y ). 2

f ( x y, x y ) ( x y)sin( x y).3

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2. 多元函数的极限 (1)定义：设函数 z f ( x, y ) 的定义域为D, P0 ( x0 , y0 )是D 描述性定义

对于二元函数 z f ( x , y ), 0 ( x0 , 总存在正数 , 使的聚点. 如果对于任意给定的正数, y0 )是定义域D的聚点 P0 0 0

( x, y 无限接近当P( x, y) P0 ( x0 , y0 )0 对应的函数值)2f ( y )y )2 PP 得对于适合不等式时， ( x x

于一个确定的常数A, 都有 f ((x,, y ) A x0 , y成立，的一切点 P( x, y ) D, 则称A为 x y) ( 0 )时，函数 z f ( x , y ) 的极限记为： lim x ) z f ( xx,,y)) ( x(,x,) yf) ( x,(y ) , yA,时的极限. 则称常数A为函数 ( y 当 y0 0

记为： lim

( x , y ) ( x0 , y0 )

f ( x, y ) A, 或 lim f ( x , y ) A, x xy y00

lim 或记为 f ( x , y ) A ( 0), 或 P P f ( P ) A,0

或f ( P ) A,( P P0 ),这里 PP0 ( x x0 ) ( y y0 ) .2 24

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(2)二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系 ①不同点： P P0 的方式(路径)不同一元函数 P P0 ( x x0 ) 的方式有两种，故有 f ( x0 ) f ( x0 ) A lim f ( x ) A 二元函数极限 P P0 的方式是任意的，有无数个.( x , y ) ( x0 , y0 )x x0

lim

f ( x, y ) A 沿任何路径 P P0时极限存在且相等

确定二元函数极限不存在的方法： ☆令P(x,y)沿y=kx趋向于P0 ( x0 , y0 ), 若极限值与k有关，则可断言极限不存在；使 ( x ☆找两种不同趋近方式， ( x , y )lim , y ) f ( x, y ) 存在，0 0

但两者不相等，或有的极限不存在，此时也可断言f(x,y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在.5

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②共同点： ●在点 P 是否有定义并不影响极限是否存在， 0 即有

定义与有极限不能互相推出. ●定义方式相同. 故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到多元函数中. 用定义只能证明极限.③联系：由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同. 所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极限的四则运算法则，夹逼准则；无穷小的概念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价

无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来. 但一元函数极限的充要条件及洛必达法则不能用于多元函数极限上.6

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例3.考察函数 xy , 2 2 f ( x, y) x y 0, x 2 y 2 0, x 2 y 2 0.

在原点的二重极限.

lim 解: 当点P ( x , y )沿x轴趋于点(0, 0)时， f ( x , y ) 0;

当点P ( x , y )沿y轴趋于(0, 0)时， f ( x , y ) 0; limy 0 x 0

x 0 y 0

但是，P( x, y )沿直线y x趋于(0,0)时xy x2 1 lim f ( x , y ) lim 2 lim 2 , 2 2 x 0 x 0 x y x 0 x x 2y x 0

y x 0

(x,y ) (0,0)

lim

f ( x , y )不存在.7