解析几何_吕林根_许子道_第四版_课后习题解答_第一章 第二章 第三章 第四章 第五章

解析几何_吕林根 许子道_第四版_课后习题解答

第一章 矢量与坐标

§1.1 矢量的概念

1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆

（3）直线； （4）相距为2的两点

2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，

在矢量、、 、、、 、、、、 、 E

和中，哪些矢量是相等的？

[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，

相等的矢量对是： 图1-1

和和和和和.

3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、

ＤＡ的中点，求证：KL＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？

[证明]：如图1-2，连结AC, 则在 BAC中，

中，

1

AC. KL与方向相同；在 DAC2

1

AC. 与方向相同，从而2

KL＝NM且KL与方向相同，所以KL＝

.

4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：

(1) 、; (2) 、; (3) 、

;

(4) 、; (5)

、. [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。

§1.2 矢量的加法

1.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？

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（1

（2

（3

（4

（5

[解]：（1）,

（2）,

（3

且,

（4）,

（5）,

§1.3 数量乘矢量

1 试解下列各题．

⑴ 化简(x y) (a b) (x y) (a b)．

⑵ 已知a e1 2e2 e3，b 3e1 2e2 2e3，求a b，a b和3a 2b．

3x 4y a

x，y． ⑶ 从矢量方程组 ，解出矢量

2x 3y b

解 ⑴

(x y) (a b) (x y) (a b) xa xb ya yb xa xb ya yb 2xb 2ya

⑵ a b e1 2e2 e3 3e1 2e2 2e3 4e1 e3，

a b e1 2e2 e3 (3e1 2e2 2e3) 2e1 4e2 3e3， 3a 2b 3(e1 2e2 e3) 2(3e1 2e2 2e3) 3e1 10e2 7e3． 2 已知四边形ABCD中，AB a 2c，CD 5a 6b 8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，求EF．

1 1 1 1

解 EF CD AB (5a 6b 8c) (a 2c) 3a 3b 5c．

2222

3 设AB a 5b，BC 2a 8b，CD 3(a b)，证明：A、B、D三点共线． 证明 ∵BD BC CD 2a 8b 3(a b) a 5b AB

∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．

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4 在四边形ABCD中，AB a 2b，BC 4a b，CD 5a 3b，证明ABCD为梯形．

证明∵AD AB BC CD (a 2b) ( 4a b) (5a 3b) 2( 4a b) 2BC ∴AD∥BC，∴ABCD为梯形．

6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量, ,

可 以构成一个三角形.

[证明]：

1

2( ) 1

2( )

1

2

( )

1

2

( ) 0

从而三中线矢量,构成一个三角形。

7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 OA OB+OC=OL++.

[证明]

( ) = ( ) 由上题结论知： 0

8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明

OA+OB+OC+＝4.

[证明]：因为＝

1

2(OA+OC), ＝1

2

(OB+), 所以 2＝1

2

(OA+OB++) 所以

OA图1-5

+OB+OC+＝4.

9 在平行六面体ABCDEF（G参看第一节

第4题图）中，证明

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AC AF AH 2AG．

证明 AC AF AH AC AF AD DH AC AF FG CG 2AG． 10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形ABCD，两腰中点分别为M、N，连接AN、BN． MN MA AN MA AD DN，

MN MB BN MB BC CN，∴ MN AD BC，即

1 1

MN (AD BC) ，故MN平行且等于(AD BC)．

22

11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.

[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点

但

由于( )∥,( )∥,而不平行于，

0，

从而OA=OC，OB=OD。

12. 设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明: [证明]：因为

1+2+…+n＝0.

1＋3＝ OA2, OA2＋OA4＝ OA3, ……

OAn 1+1＝ OAn,

OAn＋OA2＝ 1,

所以 2(1+OA2+…+OAn)

所以 ( －2)(++…+)＝. 012n

显然 ≠2, 即 －2≠0.

OAOA所以 ++…+＝. 012n

13．在12题的条件下，设P是任意点，证明：PA1 PA2 PAn nPO

＝ (1+OA2+…+OAn),

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证明： OA1 OA2 OAn

PA1 PA2 PAn 即 PA1 PA2 PAn nPO

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

1．在平行四边形ABCD中，

（1）设对角线AZ a,BD b,求AB,BC,CD,DA. 解：

1111

, , , ．设边BC和CD的2222

（2）中点M和N，且 , 求,。 解：AC

1 1

q P,BC 2MC 2 q P P q 3P 2 2

CD 2CN 2AN AC 2

1 1

p q q q p

2 2

2．在平行六面体ABCD-EFGH中，设AB e1,AD e2,AE e3,三个

面上对角线矢量设为 , , ,试把矢量 写成e1,e2,e3的线性组合。

证明：AC p e2 e1,AH q e3 e2， e3 e1，

a AC AH AF

e1 e2 e3

3. 设一直线上三点A, B, P满足AP＝ ( －1),O是空间任意一点，求证：

1

[证明]：如图1-7，因为

OP＝

＝－OA,

＝－,

所以 －＝ (－),

(1+ )＝OA+ OB,

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从而 OP＝

OB

.

1

4. 在 ABC中,设 e1, e2.

(1) 设D、E是边BC三等分点,将矢量AD,AE分解为e1,e2的线性组合; （2）设AT是角A的平分线(它与BC交于T点),将AT分解为e1,e2的线性组合 解：（1） e2 e1,

11

e2 e1， 33

112121

e2 e1 e1 e1 e2，同理 e2 e1

333333

|| ,且 BT与方向相同，所以 BT. 由上题结论有 |TC|122

1212e1

（2）因为

5．在四面体OABC中，设点G是 ABC的重心（三中线之交点），求矢量OG对于矢量

OA,,OB,OC的分解式。

解： G是 ABC的重心。 连接并延长与BC交于P

12211

, 2332311

同理 , C 33

1

（1）

31

OG OB BG OB BA BC （2） A B

3

1

OG OC CG OC CA CB （3） （图1）

3

由（1）（2）（3）得

3OG OA OB OC

即

1

AB AC BA 1BC CA CB 33

1

3

6．用矢量法证明以下各题 （1）三角形三中线共点

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证明：设BC，CA，AB中点分别为L，M，N。AL与BM交于P1，AL于CN交于P2 BM于CN交于P3，取空间任一点O，则 A

21

BM OB BA BC 33

11

A

331

同理OP2 31

OP3 OA OB OC L C

3OP1 OB BP1 OB

P1,P2,P3三点重合 O 三角形三中线共点 （图2） （第3页）

7．已知矢量a,b不共线，问c 2a b与d 3a 2b是否线性相关？ 证明：设存在不全为0的 , ，使得 0

即 2 2 0 2 3 2 0 故由已知a,b不共线得

2 3 0 2 0

0 0与假设矛盾， 故不存在不全为0的 , ，使得

c d 0成立。所以c,d线性无关。

8. 证明三个矢量a＝－e1+3e2+2e3, b＝4e1－6e2+2e3，c＝－3e1+12e2＋11e3共面，

其中能否用b,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.

[证明]：由于矢量e1, e2, e3不共面，即它们线性无关.

考虑表达式 + b+v＝0，即

(－e1+3e2+2e3)+ (4e1－6e2+2e3)+v (－3e1+12e2＋11e3)＝0,

或 (－ +4 －3v) e1+(3 －6 ＋12v) e2+(2 +2 ＋11v) e3＝0.

由于e1, e2, e3线性无关，故有

4 3v 0,

12v 0, 3 －6 ＋

2 2 11v 0.

解得 ＝－10， ＝－1，v＝2.

由于 ＝－10 0，所以a能用b,c线性表示

1 1 a＝－b＋c.

510

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9．证明三个矢量 a b, b c, c a共面。 证明： a b b c c a 0 三个矢量线性相关，从而三个矢量共面。

OC－OB＝ (－OB),

所以 ＝ , 从而 //.

故 A，B，C三点共线.

§1.5 标架与坐标

3. 在空间直角坐标系{O;i,j,k}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, －c)，

M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a, b, c)， M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,－b, c)， M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)， M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(－a, b,－c)， M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(－a,－b, c). 类似考虑P (2,－3，－1)即可. 8. 已知矢量, , 的分量如下：

(1) ＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}； (2) ＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.

试判别它们是否共面？能否将表成，的线性组合？若能表示，写出表示式.

0 12[解]:(1) 因为 0

22

4＝0,所以 , , 三矢量共面, 1

1

又因为, 的对应坐标成比例，即//

故不能将表成, 的线性组合.

123

(2) 因为 2 10＝0,所以 , , 三矢量共面.

，

056

又因为 ,

故可以将表成, 的线性组合.

设 ＝ a+ b, 亦即{0, 5, 6}＝ {1, 2, 3}+ {2, －1, 0} 从而

2 0,

2 0, 3 6.

解得 ＝2， ＝－1,

所以 c＝2a－b.

7．已知A,B,C三点坐标如下：

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O;e,e,e下，A 0,1,0 ,B 1,0, 2 ,C 2,3,4 （2）在标架

（1）在标架O;e1,e2下，A 0,1 ,B 2, 2 ,C 2,4 .

1

2

3

判别它们是否共线？若共线，写出和的线形关系式. 解：（1）因为 2, 3 , 2,3 所以AB AC 共线

（2）AB 1, 1, 2 ,AC 2,2,4 设 ，但 不存在 所以A,B,C不共线.

2 0

2

得 2 5 所以 .

1 3 6

9. 已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标. 答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).

10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.

[证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i＝1, 2, 3, 4).

在AiGi上取一点Pi，使AiPi＝3PiGi, 从而OPi＝设Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则

x x3 x4

,G1 2

3

OAi 3OGi

，

1 3z2 z3 z4

, 3

y2 y3 y4

,3

x x xG2 134,

3

x x2 x4

,G3 1

3 x x2 x3

,G4 1

3

所以

y1 y3 y4

,3y1 y2 y4

,3y1 y2 y3

,3

z1 z3 z4

,

3 z1 z2 z4

, 3 z1 z2 z3

, 3

x2 x3 x4y y3 y4z z3 z4

y1 3 2z1 3 2

P1(,,) 1 31 31 3x x2 x3 x4y1 y2 y3 y4z1 z2 z3 z4

P1(1,,).

444

同理得P2 P3 P4 P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三

x1 3

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倍.

§1.6 矢量在轴上的射影

1．已知矢量与单位矢量的夹角为150，

10又如果e ，求射影矢量e与射影e.

[解] 射影

(,) 10.COS150 5, 射影矢量e

= e , (e,) 180 (,) 30

(e,) 10.COS30 53,

=

2试证明：射影l( a1 a2+…+ nan)＝ 1射影l1+ 2射影la2+…+ n射影ln.

[证明]：用数学归纳法来证.

当n＝2时，有

射影l( 1a1 2a2)＝射影l( 1a1)+射影l( 2a2)＝ 1射影l1+ 2射影la2. 假设当n＝k时等式成立，即有

射影l( 1a1 kak)＝ 1射影la1+…+ k射影lak. 欲证当n＝k+1时亦然. 事实上 射影l( 11 kk k 1k 1) ＝射影l[( 11 kk)+ k 1k 1] ＝射影l( 1a1 kak)+射影l( k 1ak 1)

＝ 1射影la1+…+ k射影lak+ k+1射影lak 1 故等式对自然数n成立.

§1.7 两矢量的数性积

1．证明：

（1） 矢量a垂直于矢量(ab)c (ac)b ；

（2）在平面上如 果m1

证明：（1） ∵a. (a b)c (ac)b a(ab)c a(ac)b

(ab)ac (ac)ab=0

∴矢量a垂直于矢量(ab)c (ac)b .

m2，且a mi＝b i (i=1,2)，则有＝b.

（2） 因为 m1m2,所以，对该平面上任意矢量c＝ m1＋ m2, (－b) c＝(－b)( m1＋ m2)

＝ m1(－b)+ m2(－b)

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＝ (m1－bm1)+ (m2－bm2)＝0,

故 (－b) c.

由c的任意性知 －b＝0.

从而 ＝b.

2．已知矢量,互相垂直，矢量与,的夹角都是60，

1 2 3计算：

(1)( )2;(2)( )( );(3)(3 2).( 3);(4)( 2 )2

[解]：

(1)( ) 2 1 2 0 22 5;(2)( )( ) 1 22 3;(3)(3 2).( 3) 3. 2 9 6.7 8 9 3.cos60 6 2 3cos60 ;

2(4)( 2 ) 4 2 4 4 c 1 2 3cos60 4 2 3cos60 4 22 32 11

2

2

2

2

2

2

2

22

3. 计算下列各题.

（1）已知等边△ABC的边长为1,且BC a,CA b,AB C,求ab bc ca ；

(2)已知a,b,c两两垂直,且a 1, b 2,c 3,求r a b c的长和它与a,b,c的夹

角.

(3)已知a 3b与7a 5b垂直，求a,b的夹角. 2

(4)已知a 2, b 5, (a,b) , p 3a b, q a 17b.问系数 取何值时

3

p与q垂直？

解

(1)∵

a b c 1,

∴

ab bc ca a b cos1200

b c cos1200

3 c a cos1200

2

(2)∵a b c,且a 1, b 2, c 3 .

设r a b c i 2j 3k

∴r

设r与a,b,c的夹角分别为 , , .

∴cos

cos

cos

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∴

arccos

，

arccos， arccos1414

7

2 2

(3)(a 3b) (7a 5b) 0，即7a 16ab 15a 0 (1)

2 2

(a 4b) (7a 2b) 0，即7a 30ab 8b 0 (2)

2 2

(1) (2)得：2a b b (1) 8 (2) 5得：2a b a

1 2 b 1a ba b ∴ ∴cos (a,b) 2 ∴cos (a,b)

23a bb

1

(4)a b a bcos (a,b) 2 5 ( ) 5

2

2 2p q (3a b)（ a 17b） 3 a 51ab a b 17b 680 17 0

∴ 40 页后 （8）

4. 用矢量法证明以下各题：

(1) 三角形的余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA;

(2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.

证明：（1）如图1-21，△ABC中，设＝b,＝,＝，

且|a|＝a，|b|＝b,||＝c. 则＝b－,

2＝(b－c)2＝b2+2－2b ＝b2+2－2|b|||cosA. 此即 a2＝b2+c2－2bccosA.

(2) 如图1-22，设AB, BC边的垂直平分线PD, PE相交于P,

D, E, F为AB, BC, CA的中点, 设＝, ＝b,

＝, 则＝b－, ＝－b, 1

＝－, ＝(+b),

图

1-11

2

1 ＝(c＋b).

2

图1-12

因为 , ,

11

(+b)(b－)＝(b2－2)＝0, 22

1 12 2

(b+)(－b)＝(－b)＝0, 22

从而有 2＝b2＝2, 即 ||2＝|b|2＝||2,

1 1

所以 (c＋a)(a－c)＝(a2－c2)＝0,

22

所以 , 且 ||＝|b|＝||.

所以

故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距

.

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5 已知平行四边形以a ﹛1，2，-1﹜，b ﹛1，-2，1﹜为两边

求它的边长和内角 (2)求它的两对角线的长和夹角 (1)

解：

(1)a

b

11a b1

cos =- ∴ arccos或 arccos

666a b

(2)c1 a b ，c2 a b

c c

cos 12=0

c1 c2

∴

2

6 已知△ABC的三顶点A(0,0,3),B(4,0,0),C(0,8, 3)

试求：(1)△ 三边长 (2)△三内角 (3)三中线长 (4)角A的角平分线矢量AD

（中点在BC边上），并求AD的方向余弦和单位矢量 解： (1) AB (4,0, 3),

AC (0,8, 6)，BC ( 4,8,3)

∴AB 5,AC 10,BC

9AB BC9

(2)cos A = ∴ A arccos

25AB BC25

AC BC

cos C =

445AC BC

∴ C arccos

445

BA BC

∴ B arccos cos B =

445445B B

9

(3)AD1 AB BD1=(2,4,-) ∴AD1 22

BD2 BA AD2=(-4,4,0) ∴BD2

9

CD3 CA AD3 (2, 8,)

∴CD3

22

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88AB ADAC AD

(4)cos ∴AD=﹛,, 4﹜

∴cos

33AB ADAC AD

cos

，

cos

设它的单位矢量为

3

222

﹛a,b,c﹜，且a b c 1 2

0 4

3 2V MB∴﹛a,b,c﹜=

1 2

2

§1.8 两矢量的失性

1.已知 a 1, b 5, a b 3.试求: (1) a b (2) (a b) (a b

)2

(3) ( a 2 b) ( b 2 a) 2

解:(1) sin (

a,b )

4 5

∴ a b a b sin ( a,b

) 4.

(2)原式= ( a b ) b (a b) a 2 ( 2a b)2 4 a b2

64.

(3)原式= a b 2b b a 2a 4b a 2

( 3a b)2=9 42 144

2. 证明： （1）( b )2≤2

b 2

，并说明在什么情形下等号成立（2） 如果+b +＝

0，那么 b ＝b .

＝ ，并说明它的几何意义.

(3)如果 a b c d ,a c b

d.那么a d与b c共线.

(4)如果a

p,n b q n , c r

n,那么, a, b,

c

证明: （1） ( b )2＝| b |2＝||2

|b |2sin2 (,b )

≤||2|b |2＝2 b

2要使等号成立, 必须sin2

(,b .

)＝1, 从而sin (,b )＝1,

故 (,b )＝

，即当 b 时，等号成立.

（2）由+b 2+＝ 0, 有 (+b +) ＝ 0 ＝ 0, 但 ＝

0，

于是 +b ＝

0,

所以 b

＝ 同理 由 (+b .

+) ＝

0, 有 ＝ b ,

共面.

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(3)∵(a d) (b c)=a d a c b d d c

从而 b＝b ＝ .

其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.

=c d b d b d c d=0 ∴a d与b c共线.

(4)(a b)c (p n) (q n) (r n) p (n n) q (p n) q n (r n) =0

(p n) q n (r n) 0 ∴(a b)c 0 ∴a,b,c共面

3. 如果非零矢量ri(i＝1,2,3)满足r1 r2 r3，r2＝r3 r1，r3＝r1 r2，那么r1,r2,r3是彼此垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.

[证明]：由矢性积的定义易知1,2,3彼此垂直，且构成右手系.

下证它们均为单位矢量.

因为 r1＝r2 r3，r2＝r3 r1, 所以 |r1|＝|r2||r3|, |r2|＝|r3||r1|, 所以 |1|＝|3|2|1|.

由于 |1| 0，从而 |3|2＝1，|3|＝1.

同理可证 |r2|＝1，|r1|＝1. 从而r1,r2,r3都是单位矢量.

图1-13

4.已知: a 2, 3,1 ,b 1, 2,3 ,求

与a,b都垂直,且满足下列条件的矢量c: (1)c为单位矢量 (2)c d 10,其

中d 2,1, 7 . 解: (1)设c x,y,z .∵

c a,c b,c b x 2y 3z=0 (1) ∴

c a 2x 3y z=0 (2) x2 y2 z2=1 (3) 由(1),(2),(3)得

: c 15315

(2)设c x,y,z .∵c d 10 ∴2x y 7z=10 (4) 由(1),(2), (4)得: 35255 c ,, .

666

5. 在直角坐标系内已知三点A(5,1, 1),B(0, 4,3),C(1, 3,7),试求:

(1)三角形ABC的面积 (2)三角形ABC的三条高的长.

解

(1) AB AC

cos A

=

AB AC

:

AB ( 5, 5,4）

,

AC ( 4, 4,8）

,

BC (1,1,4）

51

, sinA .

S ABC AB AC sinA . 662

解析几何_吕林根_许子道_第四版_课后习题解答_第一章 第二章 第三章 第四章 第五章

,

h2 , h3 8. (2)AB ,

AC , BC .

∴h1 11

,1 , b 5,6,4 , 试求: (1)以a,b为边的平行四6.已知: a 2,3

边

形

的

面

积

.

(2)

这平行四边形的两条高的长.

解: (1)S ab sin ( a, b)

∵cos ( a, b) a

b ab

77

∴sin (a,b) S (2) a

b ,

∴hs1 a 7

hsb

2 77.

7. 用矢量方法证明： （1）三角形的正弦定理

asinA＝bsinB＝c

sinC

. （2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：

2＝p(p－a)(p－b)(p－c).

式中p＝

1

2

(a+b+c)是三角形的半周长， 为三角形的面积. [证明]： (1) 如图1-13，在△ABC中，设＝，＝b

，且||＝a，|b |＝b, ||＝c, 则 +b +

＝，

从而有 b

＝0,

所以 |b ＝ ＝ b,

|＝| |＝| b

|,

bcsinA＝casinB＝absinC,

于是

abc

sinA＝sinB＝sinC

. (2) 同上题图，△ABC的面积为

＝

1

2

| b |, 所以 2＝

1

4( b )2. 因为 ( b )2+( b )2＝2b 2

,

所以 2

＝1[2b 2－( b )2].

由于 +b 4+＝

0,

从而 +b ＝－，(＋b )2

＝2,

所以 b ＝12(c 2－2

－b 2)＝12

(c2－a2－b2),

∴