解析几何_吕林根_许子道_第四版_课后习题解答

解析几何_吕林根_许子道_第四版_课后习题解答_第一章 第二章 第三章 第四章 第五章

解析几何_吕林根 许子道_第四版_课后习题解答

第一章 矢量与坐标

§1.1 矢量的概念

1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆

（3）直线； （4）相距为2的两点

2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，

在矢量、、 、、、 、、、、 、 E

和中，哪些矢量是相等的？

[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，

相等的矢量对是： 图1-1

和和和和和.

3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、

ＤＡ的中点，求证：KL＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？

[证明]：如图1-2，连结AC, 则在 BAC中，

中，

1

AC. KL与方向相同；在 DAC2

1

AC. 与方向相同，从而2

KL＝NM且KL与方向相同，所以KL＝

.

4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：

(1) 、; (2) 、; (3) 、

;

(4) 、; (5)

、. [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。

§1.2 矢量的加法

1.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？

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（1

（2

（3

（4

（5

[解]：（1）,

（2）,

（3

且,

（4）,

（5）,

§1.3 数量乘矢量

1 试解下列各题．

⑴ 化简(x y) (a b) (x y) (a b)．

⑵ 已知a e1 2e2 e3，b 3e1 2e2 2e3，求a b，a b和3a 2b．

3x 4y a

x，y． ⑶ 从矢量方程组 ，解出矢量

2x 3y b

解 ⑴

(x y) (a b) (x y) (a b) xa xb ya yb xa xb ya yb 2xb 2ya

⑵ a b e1 2e2 e3 3e1 2e2 2e3 4e1 e3，

a b e1 2e2 e3 (3e1 2e2 2e3) 2e1 4e2 3e3， 3a 2b 3(e1 2e2 e3) 2(3e1 2e2 2e3) 3e1 10e2 7e3． 2 已知四边形ABCD中，AB a 2c，CD 5a 6b 8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，求EF．

1 1 1 1

解 EF CD AB (5a 6b 8c) (a 2c) 3a 3b 5c．

2222

3 设AB a 5b，BC 2a 8b，CD 3(a b)，证明：A、B、D三点共线． 证明 ∵BD BC CD 2a 8b 3(a b) a 5b AB

∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．

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4 在四边形ABCD中，AB a 2b，BC 4a b，CD 5a 3b，证明ABCD为梯形．

证明∵AD AB BC CD (a 2b) ( 4a b) (5a 3b) 2( 4a b) 2BC ∴AD∥BC，∴ABCD为梯形．

6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量, ,

可 以构成一个三角形.

[证明]：

1

2( ) 1

2( )

1

2

( )

1

2

( ) 0

从而三中线矢量,构成一个三角形。

7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 OA OB+OC=OL++.

[证明]

( ) = ( ) 由上题结论知： 0

8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明

OA+OB+OC+＝4.

[证明]：因为＝

1

2(OA+OC), ＝1

2

(OB+), 所以 2＝1

2

(OA+OB++) 所以

OA图1-5

+OB+OC+＝4.

9 在平行六面体ABCDEF（G参看第一节

第4题图）中，证明

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AC AF AH 2AG．

证明 AC AF AH AC AF AD DH AC AF FG CG 2AG． 10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形ABCD，两腰中点分别为M、N，连接AN、BN． MN MA AN MA AD DN，

MN MB BN MB BC CN，∴ MN AD BC，即

1 1

MN (AD BC) ，故MN平行且等于(AD BC)．

22

11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.

[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点

但

由于( )∥,( )∥,而不平行于，

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