高中数学 第三章 数列

考试内容： 数列．

等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式． 考试要求：

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．

§03. 数 列 知识要点

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①an an 1 d(n 2,d为常数) ②2an an 1 an 1(n 2)

③an kn b(n,k为常数).

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an an 1q(n 2,q为常数,且 0)

2②an an 1 an 1(n 2，anan 1an 1 0)

①

注①：i. b ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b acii. b ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. b ac→为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b ac且ac 0→为a、b、c等比数列的充要.

、b、c等比数列.

注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. ③an cqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x 1）成等比数列.

s1 a1(n 1)⑷数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an

s s(n 2)n 1 n

[注]： ①an a1 n 1 d nd a1 d （d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）. d d d

②等差{an}前n项和Sn An2 Bn n2 a1 n →可以为零也可不为零→为等差

2 2 2 的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．．2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2k Sk,S3k S2k...； ②若等差数列的项数为2nn N

，则S偶 S奇 ndS

S奇

偶

an

an 1；

S偶

n n 1

③若等差数列的项数为2n 1n N ，则S2n 1 2n 1 an，且S奇 S偶 an，S奇 代入n到2n 1得到所求项数. 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =②12 22 32 n2

n n 1 2

n n 1 2n 1

6

2

n n 1

③13 23 33 n3 2

[注]：熟悉常用通项：9，99，999，… an 10n 1； 5，55，555，… an

5n

10 1. 9

4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1 r. 其中第n年产量为a(1 r)n 1，且过n年后总产量为：

2

n 1

a a(1 r) a(1 r) ... a(1 r)

a[a (1 r)n] .

1 (1 r)

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1 r)n元. 因此，第二年年初可存款：

12

11

10

a(1 r) a(1 r) a(1 r)

a(1 r)[1 (1 r)12]

. ... a(1 r)=

1 (1 r)

⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.

a 1 r x 1 r

m

m 1

x 1 r

m 2

......x 1 r x a 1 r

m

x 1 r m 1ar 1 r m x mr 1 r 1

5. 数列常见的几种形式：

⑴an 2 pan 1 qan（p、q为二阶常数） 用特证根方法求解.

具体步骤：①写出特征方程x2 Px q（x2对应an 2，x对应an 1），并设二根x1,x2②若x1 x2

nn可设an. c1xn1 c2x2，若x1 x2可设an (c1 c2n)x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.

⑵an Pan 1 r（P、r为常数） 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an 2 Pan 1 qan的形式，再用特征根方法求an；④an c1 c2Pn 1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.

①转化等差，等比：an 1 x P(an x) an 1 Pan Px x x ②选代法：an Pan 1 r P(Pan 2 r) r an (a1 Pn 1a1 Pn 2 r Pr r.

r

. P 1

rr)Pn 1 (a1 x)Pn 1 x P 1P 1

③用特征方程求解：

an 1 Pan r

（P 1）an Pan 1. an 1 an Pan Pan 1 an 1 相减，

an Pan 1 r

④由选代法推导结果：c1

rrrr

. ，c2 a1 ，an c2Pn 1 c1 （a1 ）Pn 1

1 PP 1P 11 P

6. 几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前n项和为Sn，在d 0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：

一是求使an 0,an 1 0，成立的n值；二是由Sn 的值.

d2d

n (a1 )n利用二次函数的性质求n22

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依

111

照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1 ,3,...(2n 1)n,...

242⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第

一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an an 1(

an

)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an 1

2

2an 1 an an 2(an 1 anan 2)n N都成立。

3. 在等差数列｛an｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当a1>0,d<0时，满足

am 0

的项数m

am 1 0

使得sm取最大值. (2)当a1<0,d>0时，满足

am 0

的项数m使得sm取最小值。在解含绝

am 1 0

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于

c

其中{ an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部

anan 1

分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于 anbn 其中{ an}是等差数列， bn 是各项不为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1）: 1+2+3+...+n =

n(n 1)

2

2

2） 1+3+5+...+(2n-1) =n

1

3）13 23 n3 n(n 1)

2

4） 1 2 3 n

2

2

2

2

2

1

n(n 1)(2n 1) 6

5）

1111111

( )

n(n 1)nn 1n(n 2)2nn 21111 ( )(p q) pqq ppq

6）