【高考推荐】2019-2020高考数学二轮复习专题六函数与导数、不等式第2讲基本初

1 第2讲 基本初等函数、函数与方程

高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题

.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e

x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( ) A.－12

B.13

C.12

D.1 解析 f (x )＝(x －1)2＋a (e

x －1＋e 1－x )－1，令t ＝x －1， 则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1.

∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t

)－1＝g (t )，

∴函数g (t )为偶函数.

∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点.

又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0，

∴2a －1＝0，解得a ＝12

. 答案 C

2.(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213

，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A.a >b >c

B.b >a >c

C.c >b >a

D.c >a >b 解析 c ＝log 1213

＝log 23，a ＝log 2e ，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，知c >a >1.又b ＝ln 2<1，故c >a >b .

答案 D

3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x

，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )

2 A.[－1，0)

B.[0，＋∞)

C.[－1，＋∞)

D.[1，＋∞)

解析 函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )

＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有

2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图

可知，－a ≤1，解得a ≥－1.

答案 C

4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，

运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.

解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x

×4x ＝240，当且仅当3 600x

＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. 答案 30

考 点 整 合

1.指数式与对数式的七个运算公式

(1)a m ·a n ＝a

m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；

(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；

(4)log a M N ＝log a M －log a N ；

(5)log a M n ＝n log a M ；

(6)a log a N ＝N ；

(7)log a N ＝log b N log b a

(注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0). 2.指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数.

3.函数的零点问题

(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g

(x )

3 的图象交点的横坐标.

(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.

4.应用函数模型解决实际问题的一般程序

读题文字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答

.

热点一 基本初等函数的图象与性质

【例1】 (1)(2018·郑州一模)若函数y ＝a |x |

(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是(

)

(2)(2018·济南质检)已知a (a ＋1)≠0，若函数f (x )＝log 2(ax －1)在(－3，－2)上为减函数，且

函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≤12，log |a |

x ，x >12在R 上有最大值，则a 的取值范围为( ) A.⎣

⎢⎡

⎦⎥⎤－22，－12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，－12

D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，

∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，

又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称.

因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.

(2)∵f (x )＝log 2(ax －1)在(－3，－2)上为减函数，

∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a －1≥0，

∴a ≤－12，∵a (a ＋1)≠0， ∴|a |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).当x ≤12时，g (x )＝4x ∈(0，2]，又g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≤12，log |a |

x ，x >12在R 上有最大

4 值，则当x >12时，log |a |x ≤2，且|a |∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，1，∴log |a |12≤2，∴|a |2≤12，则|a |≤22，又a ≤－12，∴－22≤a ≤－12

. 答案 (1)B (2)A

探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围.

2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f (x )＝ln(x 2

－3x ＋2)的单调区间，只考虑t ＝x 2－3x ＋2与函数y ＝ln t 的单调性，忽视t >0的限制条件.

【训练1】 (1)函数y ＝ln |x |－x 2

的图象大致为( )

(2)(2018·西安调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧34x ＋54，x <1，2x ，x ≥1，

则满足f [f (t )]＝2f (t )的t 的取值范围是

________.

解析 (1)易知y ＝ln|x |－x 2是偶函数，排除B ，D.当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x

－2x ，当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，

22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.A 项 …… 此处隐藏：1894字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……