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专题突破练15 空间中的平行与

空间角

1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥底面ABC,∠A1AC=60°,AC=2AA1=4,点D,E分别是

AA1,BC的中点.

(1)证明:DE∥平面A1B1C;

(2)若AB=2,∠BAC=60°,求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值.

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2.(2018河南安阳一模,理19)如图,在空间直角坐标系O-xyz中,正四面体(各条棱均相等的三棱锥)ABCD的顶点A,B,C分别在x轴,y轴,z轴上.

(1)求证:CD∥平面OAB;

(2)求二面角C-AB-D的余弦值.

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3.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠

ABC=90°,E是PD的中点.

(1)证明:直线CE∥平面PAB;

(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.

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4.(2018江苏盐城模拟,25)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=2,点M是BC的中点.

(1)求异面直线AC1与DM所成角的余弦值;

(2)求直线AC1与平面AD1M所成角的正弦值.

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5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.

(1)求证:M为PB的中点;

(2)求二面角B-PD-A的大小;

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

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6.(2018江苏卷,22)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.

(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;

(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.

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7.如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD折起到△BC'D的位置,使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中点,FA⊥平面ABD,且FA=2,如图2.

(1)求证:FA∥平面BC'D;

(2)求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值;

(3)在线段AD上是否存在一点M,使得C'M⊥平面FBC'?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

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8 参考答案

专题突破练15 空间中的平行

与空间角

1.(1)证明 取AC 的中点F ,连接DF ,EF ,

∵E 是BC 的中点,∴EF ∥AB.

∵ABC-A 1B 1C 1是三棱柱,∴AB ∥A 1B 1,∴EF ∥A 1B 1,∴EF ∥平面A 1B 1C. ∵D 是AA 1的中点,∴DF ∥A 1C ,

∴DF ∥平面A 1B 1C.又EF ∩DF=F ,

∴平面DEF ∥平面A 1B 1C ,

∴DE ∥平面A 1B 1C.

(2)解 过点A 1作A 1O ⊥AC ,垂足为O ,连接OB ,∵侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ,

∴A 1O ⊥平面ABC ,

∴A 1O ⊥OB ,A 1O ⊥OC.

∵∠A 1AC=60°,AA 1=2,

∴OA=1,OA 1=AB=2,∠OAB=60°,由余弦定理得OB 2=OA 2+AB 2-2OA·AB·cos ∠BAC=3, ∴OB=,∴∠AOB=90°,

∴OB ⊥AC.

分别以OB ,OC ,OA 1为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图的空间直角坐标系O-xyz

,

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9 由题设可得A (0,-1,0),C (0,3,0),B (,0,0),A 1(0,0,),D 0,-,E

设m =(x 1,y 1,z 1)是平面ABB 1A 1的一个法向量,则

令z 1=1,则m =(1,-,1),

∴cos <m ,>=,∴直线DE 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为

2.解 (1)由AB=BC=CA ,易知OA=OB=OC.设OA=a ,则AB=a ,A (a ,0,0),B (0,a ,0),C (0,0,a ),如图

:

设D 点的坐标为(x ,y ,z ),则由DA=DB=DC=a ,

可得(x-a )2+y 2+z 2=x 2+(y-a )2+z 2=x 2+y 2+(z-a )2=2a 2,

解得x=y=z=a ,所以=(a ,a ,0).

又平面OAB 的一个法向量为=(0,0,a ),所以=0,所以CD ∥平面OAB.

(2)设F 为AB 的中点,连接CF ,DF ,

则CF ⊥AB ,DF ⊥AB ,∠CFD 为二面角C-AB-D 的平面角.

由(1)知,在△CFD 中,CF=DF=aa ,CD=a ,则由余弦定理知cos ∠CFD=,

即二面角C-AB-D 的余弦值为

3.(1)证明 取PA 的中点F ,连接EF ,BF.

因为E 是PD 的中点,所以EF ∥AD ,EF=AD.

由∠BAD=∠ABC=90°得BC ∥AD ,

又BC=AD ,所以EF BC ,四边形BCEF 是平行四边形,CE ∥BF ,

又BF ⊂平面PAB ,CE ⊄平面PAB ,故CE ∥平面PAB.

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(2)解由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间

直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).

设M(x,y,z)(0<x<1),则=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).因为BM与底面ABCD所成的角为45°,

而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos<,n>|=sin 45°,,

即(x-1)2+y2-z2=0.①

又M在棱PC上,设=,则

x=λ,y=1,z=②

由①②解得

(舍去),

所以M,从而

设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则

即

所以可取m=(0,-,2).

于是cos<m,n>=

因此二面角M-AB-D的余弦值为

4.解在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系D-xyz.

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∵M (1,2,0),A (2,0,0),C 1(0,2,4),

=(1,2,0),=(-2,2,4),

所以cos <>=,所以异面直线AC 1与DM 所成角的余弦值为

(2)=(2,0,4),设平面A 1DM 的一个法向量为n =(x ,y ,z ).

则取y=1,得x=-2,z=1,故平面A 1DM 的一个法向量为n =(-2,1,1).

于是cos <n ,>=,所以直线AC 1与平面A 1DM 所成角的正弦值为

5.(1)证明 设AC ,BD 交点为E ,连接ME.

因为PD ∥平面MAC ,平面MAC ∩平面PDB=ME ,所以PD ∥ME.

因为ABCD 是正方形,所以E 为BD 的中点.所以M 为PB 的中点.

(2)解 取AD 的中点O ,连接OP ,OE.

因为PA=PD ,所以OP ⊥AD.

又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且OP ⊂平面PAD ,所以OP ⊥平面ABCD.

因为OE ⊂平面ABCD ,所以OP ⊥OE.因为ABCD 是正方形,所以OE ⊥AD.

如图建立空间直角坐标系O-xyz ,则P (0,0,),D (2,0,0),B (-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).

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设平面BDP 的法向量为n =(x ,y ,z ),则

令x=1,则y=1,z=

于是n =(1,1,),平面PAD 的法向量为p =(0,1,0).

所以cos <n ,p >=

由题知二面角B-PD-A 为锐角,所以它的大小为

(3)解 由题意知M ,C (2,4,0),

设直线MC 与平面BDP 所成角为α,

则sin α=|cos <n ,>|=所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为 6.解 如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,设AC ,A 1C 1的中点分别为O ,O 1,则OB ⊥OC ,OO 1⊥OC ,OO 1⊥OB ,以{}为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.

因为AB=AA 1=2,所以A (0,-1,0),B (,0,0),C (0,1,0),A 1(0,-1,2),B 1(,0,2),C 1(0,1,2).

(1)因为P 为A 1B 1的中点,

所以P ,

从而=(0,2,2),

故|cos <>|=因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为

(2)因为Q 为BC 的中点,

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13 所以Q ,

因此=(0,2,2),=(0,0,2).设n =(x ,y ,z )为平面AQC 1的一个法向量,

则

即

不妨取n =(,-1,1).

设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ,

则sin θ=|cos <,n >|=,所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为

7.(1)证明 ∵BC'=C'D ,E 为BD 的中点,

∴C'E ⊥BD.

又平面BC'D ⊥平面ABD ,且平面BC'D ∩平面ABD=BD ,

∴C'E ⊥平面ABD.

∵FA ⊥平面ABD ,

∴FA ∥C'E.

又C'E ⊂平面BC'D ,FA ⊄平面BC'D ,

∴FA ∥平面BC'D.

(2)解 以DB 所在直线为x 轴,AE 所在直线为y 轴,EC'所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),A (0,-,0),D (-1,0,0),F (0,-,2),C'

(0,0,),

=(-1,-,2),=(-1,0,).设平面FBC'的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则取z=1,则m =(,1,1). ∵平面ABD 的一个法向量为n =(0,0,1),

∴cos <m ,n >=

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则平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值为

(3)解假设在线段AD上存在M(x,y,z),使得C'M⊥平面FBC',设=,则(x,y+,z)=λ(-1,,0)=(-λ,,0),∴x=-λ,y=(λ-1),z=0.而=(-λ,(λ-1),-),由m,得,λ无解.∴线段AD上不存在点M,使

得C'M⊥平面FBC'.

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