第5讲 二次根式及其运算

1.二次根式的概念 式子__ a(a≥0)__叫做二次根式. 2.二次根式的性质 (1)( a) =__a(a≥0)__. a(a>0) ;2

2 (2) a =|a|= 0(a=0) ; -a(a<0) W.

3.二次根式的运算 (1)二次根式加减法的实质是合并同类根式； (2)二次根式的乘法： a· b=__ ab(a≥0,b≥0)__; (3)二次根式乘法的反用： ab=__ a· b(a≥0,b≥0)__; a a (4)二次根式的除法： =__ (a≥0,b>0)__; b b

(5)二次根式除法的反用：

a a =__ (a≥0,b>0)__. b b

4.最简二次根式 运算结果中的二次根式， 一般都要化成最简二次 根式.最简二次根式，需满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式.

“双重非负性” 算术平方根 a具有双重非负性， 一是被开方数 a 必须是非负数，即 a≥0;二是算术平方根 a的值是 非负数，即 a≥0.算术平方根的非负性主要用于两方 面： (1) 某些二次根式的题目中隐含着 “a≥0” 这个 条件，做题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解；

“双重非负性”

算术平方根具有双重非负性 ， 一是被开方数 a必须是非负数，即a≥0;二是算术平方根的值是非

负数，即≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面：(1)某些二次根式的题目中隐含着“a≥0”这个条 件，做题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解；

两个防范 (1)求时，一定要注意确定a的大小，应注意利用 等式=|a|,当问题中已知条件不能直接判定a的大

小时就要分类讨论；(2) 一般情况下 ， 我们解题时 ， 总会习惯地把重

点放在探求思路和计算结果上 ，而忽视了一些不太重要、不直接影响求解过程的附加条件和隐含

条件.要特别注意，问题中的条件没有主次之分 ，都必须认真对待.

求值问题“五招”(1)巧用平方；(2)巧用乘法公式； (3)巧用配方；(4)巧用换元；(5)巧用倒数.

1. (2014· 湖州)二次根式 x-1中字母 x 的取值范围 是( D ) A.x<1 B.x≤1 C.x>1 D.x ≥1 2.(2014· 台州)下列整数中，与 30最接近的是( B ) A.4 B.5 C.6 D.7 3.(2012· 金华)一个正方形的面积为 15,估计它的 边长大小在( B ) A.2 与 3 之间 B.3 与 4 之间 C.4 与 5 之间 D.5 与 6 之间

4.(2012· 宁波)已知实数 x,y 满足 x-2+(y+1) =0, 则 x-y 等于( A ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 3 5.(2012· 杭州)已知 m=(- )×(-2 21),则有( A ) 3 A.5<m<6 B.4<m<5 C.-5<m<-4 D.-6<m<-5

2

二次根式概念与性质2k-1 【例 1】 (1)等式 = k-3 (D) 1 A.k>3 或 k< 2 1 C.k≥ 2 2k-1 成立，则实数 k 的范围是 k-3 B.0<k<3 D.k>3

1 2k - 1 ≥ 0 , k≥2, 解析：要使等式成立

,必须 有 ∴k>3 k-3>0, k>3.

(2)已知 a,b,c 是△ABC 的三边长，试化简： (a+b+c)2 + (a-b-c)2 + (b-c-a)2 + (c-a-b)2. 解：原式=|a+b+c|+|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a- b|= (a + b + c) + (b+ c -a) + (c + a- b) + (a+ b- c) =2a + 2b+2c【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等 于 0;(2)注意二次根式性质( a)2=a(a≥0), a2=|a|的区别，判断出各 式的正负性，再化简.

1.(1)(- 2)2 的平方根是__± 2__;9 的算术平方根是 __3__;__-4__是-64 的立方根. (2)(2014· 达州)二次根式 -2x+4有意义，则实数 x 的 取值范围是( D ) A.x≥-2 B.x>-2 C.x<2 D.x≤2 (3)如果 (2a-1)2=1-2a,则( B ) 1 1 A.a< B.a≤ 2 2 1 1 C.a> D.a≥ 2 2

【例 2】 (1)(2014· 济宁)如果 ab>0,a+b<0,那么下面各式： 二次根式的运算 a a a b ① = , ② · =1, ③ ab÷ b b b a A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ a =-b, 其中正确的是( B ) b

a a = ,被开方 b b a b 数应≥0,a,b 不能当作被开方数，所以①是错误的；② · =1, b a a b a b a a · = × = 1=1 是正确的；③ ab÷ =-b, ab÷ b a b a b b -b ab = ab÷ = ab× =-b 是正确的.故选：B -b ab 解析：∵ab>0,a+b<0,∴a<0,b<0;①

二次根式的运算

2 1 (2)计算： 24- -2 ; 3 6 1 1 1 3 解：原式=2 6- 6+ 6- 6= 6 2 3 3 2

3 + 2

1 (3)(2012· 南通)计算： 48÷ 3- × 12+ 24. 2 解：原式= 16- 6+2 6=4+ 6

【点评】 (1)二次根式化简， 依据 ab= a· b(a≥0, b≥0), a a = (a≥0,b>0),前者将被开方数分解， b b

后者分子、 分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全 平方数，即可将其移到根号外； (2)二次根式加减，即化 简之后合并同类二次根式； (3)二次根式乘除结果要化为 最简二次根式.