9-2坐标曲线积分_6026_1628_20120409100416

北交大微积分课件

第二节

第二类( 坐标) 第二类(对坐标)的 曲线积分

问题的提出 对坐标的曲线积分的概念与性质 对坐标的曲线积分的计算 两类曲线积分之间的关系 小结 思考题1

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一、问题的提出L : A → B,

y

B

实例: 实例: 变力沿曲线所作的功

L

r r A F ( x , y) = P ( x , y)i + Q ( x, y) j o

M2 M1

Mi 1 xi

yi

Mi Mn 1

x

常力所作的功 W = F AB . 分割 A = M 0 , M 1 ( x1 , y1 ),L , M n 1 ( x n 1 , y n 1 ), M n = B .r r M i 1 M i = ( xi ) i + ( yi ) j .

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r ry 取 F (ξ i ,η i ) = P (ξ i ,η i ) i + Q (ξ i ,η i ) j , Wi ≈ F (ξ i ,η i ) M i 1 M i ,LA

F(ξi ,ηi )

B

M2 M1

Mi 1 x i

yi

Mi Mn 1

即 Wi ≈ P (ξ i ,η i ) xi + Q(ξ i ,η i ) yi . o求和 W = ∑ Wii =1n i =1

x

n

近似值

≈ ∑ [ P (ξ i ,η i ) x i + Q(ξ i ,η i ) y i ].

取极限 W = lim ∑ [ P (ξ i ,η i ) x i + Q (ξ i ,η i ) y i ]. λ →0i =1

n

精确值

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二、对坐标的曲线积分的概念1.定义 设L为 xoy面内从点 A到点 B的一条有 定义

向光滑曲线弧 , 函数 P ( x , y ), Q( x , y )在 L 上有界 . 用 L上的点 M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), L, M n 1 ( xn 1 , yn 1 )把 L分成 n个有向小弧段 M i 1 M i ( i = 1,2,L, n; M 0 = A, M n = B ). 设 xi = xi xi 1 , yi = yi yi 1 , 点(ξ i , ηi )为 M i 1 M i 上任意取定的点 . 如果当各小弧段 长度的最大值 λ → 0时 ,

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∑ P (ξ i ,η i ) xi的极限存在 , i =1= n

n

则称此极限为函

数 P ( x , y )在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线 或称第二类曲线积分) , 积分(或称第二类曲线积分) 记作

∫L P ( x, y)dx = lim ∑ P (ξ i ,η i ) xi . λ →0 i =1类似地定义

∫ Q( x, y)dy = lim∑Q(ξ ,η ) y . λL →0 i =1 i i i

n

其中P( x, y), Q( x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段.

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2.存在条件：当P ( x , y ), Q ( x , y )在光滑曲线弧 L 存在条件： 存在条件

上连续时 , 第二类曲线积分存在 .3.组合形式 组合形式

∫L P( x, y)dx + ∫LQ( x, y)dy r = ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ F ds. L Lr r r 其中 F = Pi + Qj , r r ds = dxi + dyj .

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4.推广 4.推广

空间有向曲线弧 Γn Γ →0 i =1 n

∫ Pdx + Qdy + Rdz.Γi i i i

∫ P( x, y, z)dx = lim∑P(ξ ,η ,ζ ) x . λ ∫Γ Q( x, y, z)dy = lim∑Q(ξi ,ηi ,ζi ) yi . λ→0 i =1 ∫Γ R( x, y, z)dz = lim∑R(ξi ,ηi ,ζi ) zi . λ→0 i =1n

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5.性质 5.性质

(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则

∫

L

Pdx + Qdy = ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy .1 2

( 2) 设 L是有向曲线弧 , L是与L方向相反的 有向曲线弧, 有向曲线弧 则

∫

L

P ( x , y )dx + Q( x , y )dy = ∫L P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy

即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关

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三、对坐标的曲线积分的计算思想是 化为定积分

计算. 化为定积分计算.对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 因此下限应是起点的坐标, 上限是终点的 因此下限应是起点的坐标 坐标. 坐标

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定理 设P ( x , y ), Q ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连

x = ( t ), 续, L的参数方程为 当参数 t单调地由 α变 y = ψ ( t ), 到β时, 点M ( x , y )从L的起点 A沿L运动到终点 B,

( t ),ψ ( t )在以α及β为端点的闭区间上具有 一阶连续导数, 且 ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0, 则曲线积分

∫L P ( x, y)dx + Q( x, y)dy存在,

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且 ∫ P ( x , y )dx + Q ( x , y )dyL

= ∫ { P[ ( t ),ψ ( t )] ′( t ) + Q[ ( t ),ψ ( t )]ψ ′( t )}dtα

β

特殊情形

(1) L : y = y( x )b L a

x起点为 a,终点为 b.

则 ∫ Pdx + Qdy = ∫ { P[ x , y( x )] + Q[ x , y( x )] y′( x )}dx . ( 2) L : x = x ( y )d L c

y起点为 c,终点为 d .

则 ∫ Pdx + Qdy = ∫ { P[ x ( y ), y] x ′( y ) + Q[ x ( y ), y]}dy.

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x = (t ) ( 3) 推广 Γ : y = ψ ( t ), t起点α , 终点β . z = ω (t )

∫ Pdx + Qdy + RdzΓ

= ∫α {P[ (t ),ψ (t ),ω(t )] ′(t ) + Q[ (t ),ψ (t ),ω(t )] ′(t ) ψ + R[ (t ),ψ (t ),ω(t )]ω′(t )}dt

β

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例

计算 ∫ xydx , 其中L为抛物线 y = x上从2 L

A(1, 1)到B(1,1)的一段弧 .化为对x的定积分， 解 (1) 化为对 的定积分，y = ± x .

B(1,1)

y2 = x

∫

L

xydx = ∫

AO

xydx + ∫ xydxOB

= ∫ x ( x )dx + ∫ x xdx1 0

0

1

A(1, 1)

4 = 2 ∫ x dx = . 0 51

3 2

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( 2) 化为对 的定积分， 化为对y的定积分，

x= y ,2

y从 1到1.

B(1,1)

∫L xydx = ∫AB xydx= ∫ y 2 y( y 2 )′dy 1 1

y2 = x

A(1, 1)

4 = 2∫ y dy = . 1 51 4

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例 计算 ∫ xdx + ydy + ( x + y 1)dzΓ

其中Γ是由点 到点B(2,3,4)的直线段 的直线段. 其中 是由点A(1,1,1)到点 是由点 到点 的直线段x 1 y 1 z 1 = = 直线AB的方程为 解 直线 的方程为 1 2 3

化成参数式方程为 x = 1 + t , y = 1 + 2t , z = 1+ 3t + A点对应 t = 0, B点 …… 此处隐藏：1654字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……