合情推理与演绎推理复习课

知识要点课标明确规定:数学思维能力包括 “会用归纳、演绎和类比推理” 1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具这些特征的推理,或由个别 事实 概括出一般结论的推理. 2.类比推理:两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征.推出另一类对象也具有这些 特征的推理. 3.合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实， 经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比， 然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.

知识要点4.演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊 情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理 归纳——从特殊到一般,结论是似真的； 演绎——从一般到特殊,结论是必然的； 类比——从特殊到特殊,结论是似真的.

例题剖析

类比推理

[例1] 平面几何中， ①在Rt△ABC中,斜边是AB, 则CB=ABcosB; ②在正三角形中,有外接圆半径等于 内切圆半径的2倍. 用类比的方法写出立体几何中相似的命题.[解析] ①如图在三棱锥D-ABC中,DA⊥面ABC, 若二面角A-BC-D的大小为α, 则 S△ABC=S△DBC·cosα; (面积)射影定理 ②正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍.

例题剖析1 S△BCD 4r 3

类比推理

V A BCD

1 S△ BCD ( R r ) 3

R r 4r R 3r[点评] 在平面中,边数最少的多边形是三角形.  在空间,面数最少的多面体是四面体. 故三角形与四面体可作一些类比.

延展训练

类比推理OA OB OC . 1 运用类比 AA BB CC

[例2]已知O是△ABC内任意一点，连结AO,BO, CO并延长交对边于A′,B′,C′.则 猜想,对空间四面体A-BCD,存在什么类似的结论,并证 明.

延展训练

类比推理

[解析] 设O是四面体ABCD内 任

意一点,连AO,BO,CO,DO并延长 交对面于A′,B′,C′,D′.则

OA OB OC OD 1 AA BB CC DD

延展训练OA′ h 则: . AA h

类比推理

证明:过O,A分别作底面BCD的高,设为h,h′

1 S△ BCD h VO BCD OA h 3 AA h 1 V A BCD S△ BCD h 3 OB VO CDA OC VO DAB OD VO ABC 同理 : . OB VB CD CC VC OAB DD VC ABC OA OB OC OD AA BB CC DD VO BCD VO CDA VO DAB VO ABC V A BCD 1. V A BCD V A BCD VC ABC VC ABC V A BCO

例题剖析

类比推理

[例3]任给7个实数,求证:其中至少存在两个实数x、y,

[分析]

x y 3 满足: 0 . 1 xy 3

x y 从 结构看 , 与两角差的正切公式类 1 xy 3 π 而 0 tan0 , tan 3 6

似,

[证明]

将

( , )分成 6个区间 , 则 i 至少有两个在同一区间 2 2 π 令这两个角为 、 , 且 , 则 0 6 x y 再令 x tan , y tan , 则tan( ) 1 xy

π π 记任给 7个实数为 tan i , i ( , ), i 1,2, ,7, 2 2

类比推理

π π π 而正切函数在 ( , )上是增函数 . 由0 2 2 6 π 得tan0 tan( ) tan 即 6 x y 3 0 1 xy 3

例题剖析

归纳推理

[例4]将正三角形的每一边三等分,以每一条边上居中的 一线段为边向外作正三角形得到六个正三角形,重复上 述作法,一直继续下去,设原正三角形的周长为a0,依次所 得的周长所成的数列记为{an},判断{an}是何种数列,并求 通项公式an.

例题剖析

归纳推理

[分析] 可以比较序号相邻的两个曲线的正三角形 边长的变化来找出{an}相邻两项的数量关系.

[解析]设前一个曲线所含正三角形的边长为l, 4 则有后一个曲线中其长度变为 l l , 3an 1 4 an 3 4 n 数列是等比数列 , 故a n ( ) a0 3

例题剖析

归纳推理 类比推理

[例5] 在m(m≥2)个不同数的排列P1,P2…Pm中, 若1≤i<j≤m时,Pi>Pj,则称Pi与Pj构成一个逆序, 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数, 记排列(n+1)n(n-1)……321的逆序数为an, 如排列21的逆序数a1=1 (1)求a4,a5并写出an的表达式；a (2)令bn= an n 1 ,证明：2n<b1+b2+…+bn<2n+3 an 1 an

例题剖析

归纳推理 类比推理

[例5] 在m(m≥2)个不同数的排列P1,P2…Pm中, 若1≤i<j≤m时,Pi>Pj,则称Pi与Pj构成一个逆序, 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数, 记排列(n+1)n(n-1)……321的逆序数为an, 如排列21的逆序数a1=1 (1)求a4,a5并写出an的表达式；[解析] (1)排列54321的逆序有54,53,52,51,43, 42,41,32,31,21, 归纳推理 ∴a4=10 同理a5=15 an=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1= n( n 1)2

an an 1 n n 2 n n 2 ( 2)b n 2 2, n 1、 2 an 1 an n 2 n n 2 n b1 b2 bn 2n n n 2 n 2 2 2 2 2 bn 1 2 , n 1、 2 n 2 n n 2 n n n 2 b1 b2 bn 类比推理

例题剖析

归纳推理 类比推理

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 4 3 5 4 6 n n 2 1 1 1 2n 2(1 ) 2 n 1 n 2 2 2 2n 3 2n 3 n 1 n 2

综 : 2n b1 b2 bn 2n 3. 上

延展训练

演绎推理

a [例6]已知 y x 有如下性质 : 常数 a 0, 那么该函数 x 在 0,a 上是减函数，在 a , 上是增函数 . b 2 (1)如果 y x 在 0,4 上是减函数，在 4, 上是增函

数 , x 求实常数 b的值； c ( 2)设常数 c 1,4 , 求函数 f ( x ) x , x 1,2 x 的最大值和最小值 .