3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示

复习：

平面向量基本定理：

如果e1,2是同一平面内的两个不共线向量， e 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 一对实数 1, 2,使a= 1 e1+ 2 e 2。 (e1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。) e

平面向量的正交分解及坐标表示

a xi y j

y

ax

i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0). i

o j

在空间中，能得出类似的结论: 一、空间向量基本定理：

如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一

向量 p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z, p xa yb zc. 使任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

a, b, c 都叫做基向量

注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，

(2) 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任 意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着 它们都不是 0 。(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。

还应明确： (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

特殊的： i, j , k两两垂直时 OQ xi y j. OP OQ zk xi y j zk . 由此可知，如果 i, j , k 是空间两 OP OQ zk .两垂直的向量，那么，对空间任一 向量 p ,存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p xi y j zk .

z

我们称 xi, y j , zk

为向量 p 在

k j i Ox

p

P

y Q

i, j , k 上的分向量。

这种分解我们把它叫做空间向 量的正交分解.

二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标

单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示

空间向量的坐标：给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.P=(x,y,z)其中x是点A的横 坐标，y是点A的纵坐标，z是 点A的竖坐标.e3 e1 O e2 y

z

A(x,y,z)

x

空间向量基本定理的考查

例1已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC, M,N,分别是对边OA,BC的中点，点P,Q是 线段MN三等分点，用基向量OA,OB,OC表 示向量OP,OQ.O M A Q P C

NB

练习

空间直角坐标的考查

e e 在空间坐标系o-xyz中，AB e1 2e2 3e3 ( e1、2、3 分别是 与x轴、 y轴、 z轴的正方向

相同的单位向量)则 AB 的坐 标为 。

空间向量运算 的坐标表示

一、向量的直角坐标运算

设 a ( a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) , 则 a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a ( a1 , a2 , a3 )( R) a b a1b1 a2 b2 a3b3 a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a , b都不是零向量 )

若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个

向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

二、距离与夹角的坐标表示1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式

2 2 2 已知 a ( x, y, z ) ,则 a x y z注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。

(2)空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、B( x2 , y2 , z2 ) ,则

AB

( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 22 2 2

| AB | AB AB

d A, B ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )

2.两个向量夹角公式 已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 a b 则 cos a , b a b x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2

注意：

(1)当 cos a , b 1 时， 与 b 同向； a

a (2)当 cos a , b 1 时， 与

b 反向； (3)当cos a , b 0 时，a b 。

3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )x1 x2 y1 y2 z1 z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2