研究生数学基础课程之应用数理统计5-1

研究生数学基础课程之应用数理统计

第五章 大数定律和 中心极限定理第一节 大数定律

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概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 规律性的学科 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 也就是说， 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象. 的法则，应该研究大量随机现象

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研究大量的随机现象， 研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 形式，由此导致对极限定理进行研究 极 限定理的内容很广泛， 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律

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大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性

大量抛掷硬币 正面出现频率

生产过程中的 字母使用频率 废品率

……

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几个常见的大数定律 定理1(切比雪夫大数定律) 定理 (切比雪夫大数定律) 设 X1, X2, …是相互独立的随 是相互独立的随 机变量序列，它们都有有限的方差， 机变量序列，它们都有有限的方差， 切比雪夫 并且方差有共同的上界， 并且方差有共同的上界，即 Var(Xi) ≤K,i=1, 2, …, , , 则对任意的ε>0, ,1 1 lim P{| ∑Xi ∑E( Xi ) |< ε} = 1 n→∞ n i=1 n i=1n n

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切比雪夫大数定律表明， 切比雪夫大数定律表明，独立随机变 量序列{X ,如果方差有共同的上界， 量序列 n},如果方差有共同的上界，则1 n 1 ∑Xi 与其数学期望 n ∑E( Xi )偏差很小的 n i=1 i=1n

概率接近于1. 概率接近于1 即当n充分大时 充分大时， 即当 充分大时， ∑Xi 差不多不再是 n i=1 随机的了， 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接 近于1. 近于切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述n

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证明切比雪夫大数定律主要的数学 工具是切比雪夫不等式. 工具是切比雪夫不等式 设随机变量X有期望 设随机变量 有期望E(X)和方差 σ , 有期望 和方差 则对于任给 ε >0,2

σ P{| X E( X) |< ε} ≥ 1 2 ε

2

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作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理. 有下面的定理 定理2(独立同分布下的大数定律) 定理 (独立同分布下的大数定律) 设X1,X2, …是独立同分布的随机变量 是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= µ Var(Xi)= σ 2 i=1,2,…, 序列， , , 则对任给 ε>0,

1 lim P{| ∑Xi µ |< ε} = 1 n→∞ n i=1

n

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下面给出的贝努里大数定律， 下面给出的贝努里大数定律， 是定理2的一种特例 的一种特例. 是定理 的一种特例 重贝努里试验中事件A发 设Sn是n重贝努里试验中事件 发 重贝努里试验中事件 生的次数， 是事件 发生的概率， 是事件A发生的

概率 生的次数，p是事件 发生的概率，, 第 试 生 1 如 i次 验A发 引入 X i = 否 则 0,

贝努里

i=1,2,…,n

则

Sn = ∑Xii=1 n

n

Sn 1 是事件A发生的频率 = ∑Xi 是事件 发生的频率 n n i=1

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于是有下面的定理： 于是有下面的定理：贝努里

定理3(贝努里大数定律) 定理 (贝努里大数定律) 重贝努里试验中事件A发生的 设Sn是n重贝努里试验中事件 发生的 重贝努里试验中事件 次数， 是事件 发生的概率， 是事件A发生的概率 次数，p是事件 发生的概率，则对任给的

ε> 0, ,或

Sn lim P{| p |< ε} = 1 n→∞ n Sn lim P{| p |≥ ε} = 0 n→∞ n

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Sn p |≥ ε} = 0 任给ε>0, lim P{| , n→∞ n贝努里大数定律表明，当重复试验次数 贝努里大数定律表明， n充分大时，事件 发生的频率 n/n与事件 充分大时， 发生的频率S 与事件 与事件A 充分大时 事件A发生的频率 的概率p有较大偏差的概率很小 有较大偏差的概率很小. 的概率 有较大偏差的概率很小 请看演示 贝努里大数定律 贝努里大数定律提供了通过试验来确 定事件概率的方法. 定事件概率的方法

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下面给出的独立同分布下的大数定 不要求随机变量的方差存在. 律，不要求随机变量的方差存在 定理3(辛钦大数定律) 定理 (辛钦大数定律) 设随机变量序列X 设随机变量序列 1,X2, …独立同 独立同 分布，具有有限的数学期 分布，具有有限的数学期E(Xi)=µ, i=1,2,…, 则对任给ε >0 , ,辛钦

1 n lim P{| ∑Xi µ |< ε} = 1 n→∞ n i=1请看演示 辛钦大数定律

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例如要估计某地区的平均亩产量， 例如要估计某地区的平均亩产量，要 收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计 收割某些有代表性的地块，例如 算其平均亩产量，则当n 较大时， 算其平均亩产量，则当 较大时，可用它 作为整个地区平均亩产量的一个估计. 作为整个地区平均亩产量的一个估计 …… 此处隐藏：501字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……