第四节数量积和向量积

一、两向量的数量积r 实例 一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 1 移动 r r 表示位移， 到点 M 2 ,以 s 表示位移，则力 F 所作的功为 r r r r 的夹角) (其中θ 为 F 与 s 的夹角 其中 W =| F || s | cosθ r r r r 定义 向量a 与b 的数量积为a b 数量积为 r r r r r r 的夹角) 其中 a b =| a || b | cosθ (其中θ 为a 与b 的夹角由定义可知，两向量的数量积是一个数量 由定义可知，两向量的数量积是一个数量.

r b

r a r r r r Q | b | cos θ = Pr ja b , | a | cos θ = Pr jb a , r r r r r r ∴ a b =| b | Pr jb a = | a | Pr ja b .结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. 乘积. 数量积也称为“点积” 内积” 数量积也称为“点积”、“内积”.

θ

r r r r a b =| a || b | cosθ

关于数量积的说明： 关于数量积的说明：

r r r 2 (1) a a =| a | .

r r r r ( 2) a b = 0 a⊥b .

数量积符合下列运算规律： 数量积符合下列运算规律：

r r r r 交换律： (1)交换律：a b = b a; r r r r r r r 分配律： (2)分配律： a + b ) c = a c + b c ; (r r r r r r 为数： (3)若 λ 为数： ( λa ) b = a ( λb ) = λ ( a b ), r r r r 为数： 若 λ 、µ为数： ( λa ) ( µb ) = λµ ( a b ).

r r r r r r r r 设 a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k r r r r r r r r a b = (a x i + a y j + a z k ) (bx i + b y j + bz k ) r r r r r r r r r Q i ⊥ j ⊥ k , ∴ i j = j k = k i = 0, r r r Q| i |=| j |=| k |= 1, r r r r r r ∴ i i = j j = k k = 1. r r a b = axbx + ayby + azbz数量积的坐标表达式

r r a b r r r r a b =| a || b | cosθ cos θ = r r , | a || b | axbx + ayby + azbz cosθ = 2 2 2 2 2 2 ax + ay + az bx + by + bz两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为

r r a⊥b axbx + ayby + azbz = 0

r r , 例 1 已知a = {1r1, 4},b = {1, 2,2}r 求(1) , ) r r r r a b ;(2)a 与b 的夹角；(3)a 在b 上的投影 的夹角； ) 上的投影. ) r r 解 (1) a b = 1 1 + 1 ( 2) + ( 4) 2 = 9.( 2) cosθ = a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az2 2 2

bx + b y + bz2 2

2

1 , = 2 r r r r ( 3) a b =| b | Pr jb a

r r r a b ∴ Pr jb a = r = 3. |b |

3π π . ∴θ = 4

r r r r r r r 垂直. 例 2 证明向量c 与向量(a c )b (b c )a 垂直 r r r r r r r 证 [(a c )b (b c )a ] c r r r r r r r r = [(a c )b c (b c )a c ] r r r r r r = (c b )[a c a c ]=0r r r r r r r ∴ [(a c )b (b c )a ]⊥c

二、两向量的向量积r 实例 设O 为一根杠杆 L 的支点，有一力F 作用 的支点， r 点处. 于这杠杆上 P 点处 .力 F 与OP 的夹

角为θ , 力 r r F 对支点O 的力矩是一向量 M ,它的模 r r r F | M |=| OQ || F | θ r L =| OP || F | sinθ P OQ

r r M 的方向垂直于OP 与 F 所决

定的平面, 指向符合右手系. 定的平面 指向符合右手系

r r r r r 定义 向量 a 与b 的向量积为 c = a × b 向量积为 r r r r r | c |=| a || b | sinθ 的夹角) (其中θ 为a 与b 的夹角 其中 r r r c 的方向既垂直于a ,又垂直于b ,指向符合右手系. 右手系.

因此，两向量的向量积是一个向量。 因此，两向量的向量积是一个向量。 向量积也称为“叉积” 向量积也称为“叉积”、“外积”. 外积”

关于向量积的说明： 关于向量积的说明：

r r r (1) a × a = 0. (Qθ = 0 sinθ = 0) r r r r r r r r r (a ≠ 0, b ≠ 0) ( 2) a // b a × b = 0.向量积符合下列运算规律： 向量积符合下列运算规律：

r r r r (1) a × b = b × a . ) r r r r r r r (2)分配律： (a + b ) × c = a × c + b × c . )分配律： r r r r r r 为数： (3)若 λ ) 为数： (λa ) × b = a × (λb ) = λ (a × b ).

r r r r r r r r 设 a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k r r r r r r r r a × b = (a x i + a y j + a z k ) × (bx i + b y j + bz k ) r r r r r r r Q i × i = j × j = k × k = 0, r r r r r r r r r Q i × j = k, j × k = i , k × i = j, r r r r r r r r r j × i = k , k × j = i , i × k = j . r r r = (aybz azby )i + (azbx axbz ) j + (axby aybx )k向量积的坐标表达式

向量积还可用三阶行列式表示

r i r r a × b = ax bx由上式可推出

r j ay by

r k az bz

a x a y az r r a // b = = bx b y bz

不能同时为零，但允许两个为零， b x 、 b y 、bz 不能同时为零，但允许两个为零，

a x a y az 例如， 例如， = = a x = 0, a y = 0 0 0 bz补充

r r r r | a × b |表示以a 和b 为邻边的平行四边形的面积. 的平行四边形的面积

r r r c = a×b r br a

例 3

r r r r r r r r 求 与 a = 3i 2 j + 4k , b = i + j 2k 都r i r j ay by r kr i r j r kr r 4 = 10 j + 5k ,

垂直的单位向量. 垂直的单位向量

解

r r r c = a × b = ax bx

az = 3 2 bz 1 1 2

r 2 2 Q | c |= 10 + 5 = 5 5 ,

r c 2 r 1 r 0 ∴ c = ± r = ± j+ k . 5 |c | 5

例4解

在顶点为 A(1, 1,2) 、 B(5, 6,2)和

C (1,3, 1)的三角形中，求 AC 边上的高BD . 的三角形中，AC = {0,4, 3} AB = {4, 5,0}三角形ABC的面积为 的面积为 三角形A

B

D

C

1 1 25 2 2 2 S = | AC × AB |= 15 + 12 + 16 = , 2 2 2 1 2 2 | AC | = 4 + ( 3) = 5, S = | AC | | BD | 2 25 1 = 5 | BD | ∴| BD |= 5. 2 2