3.2

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3.2

定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

平行四边形

一组邻边相等

菱 形

菱形的性质： 特征 边 角 对角线互相平分 对边平行 对角相等 菱 形 四边相等 邻角互补

对称性中心对 称图形 轴对称 图形

垂直、每 条对角线 平分一组 对角

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义务教育课程标准实验教科 书九年级上册第三章第二节

贺兰四中 张君殿

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证明命题的一般步骤:(1) 分清命题的条件和结论; (2) 根据题意,画出图形; (3) 结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4) 分析题意,探索证明思路;(由“因”导“果”,执“果”索“因”)

(5) 依据思路,运用数学语言条理清晰地写出证明过程;

3.2

菱形的性质 1 :

菱形的四条边都相等A D

已知：如图,四边形ABCD是菱形, 且AB=AD. 求证：AB=BC=CD=AD B

C

证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴ AB=DC AD=BC(菱形的两组对边分别相等)

又∵ AB=AD

(菱形的定义)学.科.网

∴ AB=BC=CD=AD

3.2

菱形的性质 2 :

菱形的两条对角线互相垂直，每一 条对角线平分一组对角。A B

已知:四边形ABCD是菱形。 求证:AC⊥BD, AC平分∠BAD和∠BCD BD平分∠ABC和∠ADC

O C

D

证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD(菱形的四条边都相等) 在△ABD中，

又∵BO=DO ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD(等腰三角形三线合一) 同理：AC平分∠BCD; BD平分∠ABC和∠ADC

3.2

菱形的性质 2 :

菱形的两条对角线互相垂直，每一 条对角线平分一组对角。A12

已知:四边形ABCD是菱形, 求证:AC⊥BD, AC平分∠BAD和∠BCD BD平分∠ABC和∠ADC

B

3 4

O

D

证明： ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AB=AD,OB=OD 又∵ AO=AO

C

∵ △AOB ≌△AOD ∴∠1=∠2 ∴ AC平分∠BAD 同理： AC平分∠BCD BD平分∠ABC和∠ADC学.科.网

∴△AOB ≌△AOD ∴∠3=∠4 又∵ ∠3+∠4=180° ∴ ∠3=∠4=90° ∴ AC⊥BD

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例：如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线AC长10cm. 求:(1)对角线BD的长度;(2)菱形ABCD的面积. A 解:(1) ∵四边形ABCD是菱形, AC BD, AO 1 AC 5 cm 2

B

O C

D

BO AB2 AO2 12(cm) BD 2BO 24 cm (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积 1 1 BD AO BD CO 2 2 1 BD AO CO 2 1 BD AC 2 120 cm2

菱形的面积与它的 两条对角线有什么 吗关系？

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菱形的判定 2 : 四条边都相等的四边形是菱形.已知: 如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. 证明: ∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA.A BD

C

∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形.

3.2

菱形的判定3: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。已知:如图,在□ABCD中, 对角线AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是菱形.C 证明:∵四边形ABCD是平行四

边形. ∴BO=DO. ∵AC⊥BD, ∴ AB=AD.(线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等) ∴四边形ABCD是菱形.A B

O

D

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1、已知菱形的周长是12cm,那么它的边长 是 3cm 。2、菱形的两条对角线长分别为6cm,8cm,则 菱形的面积是 24 cm,周长是 20 cm 。 3、求证：有一条对角线平分一个内角的平 行四边形是菱形。

3.2

4、已知菱形ABCD中，E、F分别 是CB、CD上的点，且BE=DF。 求证：∠AEF=∠AFEB 证明: ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD, ∠B=∠D ∵BE=DF ∴△ABE≌△ADF(SAS) ∴AE=AF(全等三角形的对应边相等) ∴∠AEF=∠AFE.

A F

D

E

C

3.2

5、如图，菱形ABCD中，E是AB的中点， 且DE⊥AB,AE=2。

求： (1)∠ABC的度数；(2)对角线AC、BD的长；D O C

(3)菱形ABCD的面积。A

E

B

3.2

解(1)∵四边形ABCD是菱形，

DO

C

∴AD=AB ∵ E是AB的中点，且DE⊥AB

∴DA=DB(DE为AB 的中垂线) ∴AD=AB=BD ∴ ∠DAB= 60 °, ∴ ∠ABC=120 ° A (2)∵AE=2, ∴ AB=4 ∴ BD=AB=4 ∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥DB ∵ DB=4 ∴ 0B=2 ∴ 在Rt△AOB中,由勾股定理得 AO=2 2 2 2

E

B

在Rt△DAE中,由勾股定理得 (3)

∴ S菱形ABCD 1 AC BD2

AB BO 4 2 23

3

1 4 3 4 2

∴ AC=4

8 3

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想一想：通过这节课的学习你有哪些收获？1、 平行四边形与特殊平行四边形的关系.

矩形平行四边形

正方形 菱形

2、菱形的面积：菱形的两条对角线乘积的一半.

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3、菱形问题解决方法菱形的每一条对角线可以把菱形分成两个全等的等腰三 角形，菱形的两条对角线可以把菱形分成四个全等的直角三 角形，因此关于菱形问题往往可以转化为等腰三角形或直角 三角形的问题来解决。

4、证明命题的一般步骤:(1) 分清命题的条件和结论; (2) 根据题意,画出图形; (3) 结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4) 分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索 “因”); (5) 依据思路,运用数学语言条理清晰地写出证明过程;