数值分析09-10学期试卷
时间：2025-07-12
全真试卷
《数值分析》考试答卷及评分标准
（ 2009 —— 2010学年度第一学期）
一．填空题（每小题2分，共20分）：
1．已知x=276.0450是四舍五入以后的近似数. 则其误差限ε(x)=0.5×10； 2．设近似数x1=8,x2= 2.0的误差限分别为0.1和0.05. 则εr(x1 x2)≈ 0.015 ； 3，设近似值x(>0)的相对误差限是δ. 则ln
**
*
*
*
** 4
1
的误差限是 δ ； *x
n
n
(写成十进制小数形式) 4．近似计算arctan100001 arctan99999≈ 0.0000000002 ；5．设A是n阶方阵,f(x)=|xI A|，步长h=0.01. 则n阶差分 f= (0.01)n! ； 6. 设f(x)∈C[a,b],P(x)是f(x)的最佳逼近多项式, x0∈[a,b]是P(x)的偏差点. 则
P(x0) f(x0)= f(x) P(x)∞ 或 max|P(x) f(x)|；
a≤x≤b
7. 若P0(x)是函数a0+a1x在[a,b]上的最佳0次逼近多项式. 则P0(x)=a0+8．6等分求积区间所构造的插值型求积公式至少具有 7 次代数精度； 9.迭代法x
(k+1)
a1(a+b)
； 2
=b Ax(k)+x(k)解线性方程组Ax=b收敛的充要条件是
ρ(I A)<1
10. 反幂法是求矩阵A的绝对值最 小 的特征值及其对应的特征向量的一种数值方法.
二．单选题（每小题2分，共20分）：
1. 设l0(x),l1(x), ,ln(x)是n次插值基函数. 则B. 1 A．0
∑(x
i=0
n
i
+x)nli( x)≡（ A ）；
D. 1
C. 2
2.设f(x)的Hermite二次插值多项式P2(x)满足P2(0)=f(0),P2′(0)=f′(0),P2(1)=f(1). 则余项f(x) P2(x)=（ B ）
f′′′(ξ)2f′′′(ξ)f′′(ξ)f(4)(ξ)22
x(x 1) C.A. x(x 1)2 x(x 1) B. x(x 1) D.64!62
3. 当f(x)≡ x 时，其伯恩斯坦(Bernstein)多项式 Bn(f,x)=（ C ）; B. 1 A. x
C. x
D. 1
； 4．设P(x)是f(x)∈C[a,b]的最佳5次逼近多项式，则最准确完整的选项是（ D ）
A．P(x)至少有1个偏差点
B．P(x) 恰是5次多项式
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C．若P(x)有正偏差点则必也有负偏差点 D．P(x)至少有7个正负交错偏差点 5. 勒让德(Legendre)多项式Pn(x)(n=0,1,2, )在区间[ 1,1]上带权ρ(x)=（ C ）两两正交； A. x
2
B. 1/ x
2
C. 1
(n)
D. 0
6. 牛顿-柯特斯(Newton-Cores)公式中的柯特斯系数 C0 A.b a
B. n C.1
= ( D )；
D. Cn
(n)
7．插值型求积公式 In=
∑A
k=0
n
k
f(xk) 的代数精度最高可达到 ( D ) 次；
A.n B.n+1 C.2n D.2n+1 8. 常微分方程的数值解法可以采取（ C ）；
A. 雅可比方法 B. 牛顿方法 C. 龙格–库塔方法 D. 拉格朗日方法 9. 若用迭代法求代数方程f(x)=0的根，则评价迭代过程的成败是依据其 ( D )； A. 逼近的程度 B. 截断误差的大小 C. 代数精度的高低 D. 收敛性 10. n阶方阵A的谱半径ρ(A)是指A的( B ); A.绝对值最大的特征值 C.最大特征值的绝对值
B. 特征值的绝对值的最大者 D. 最大的特征值
三．计算题（每小题8分，共48分）：
1. 在节点x0=0,x1=1上构造基函数求f(x)=
x的2次Hermite插值多项式H2(x)，使
H2(0)=f(0),H2(1)=f(1),H2'(1)=f'(1)，并由此求2≈H2(2).
解：先构造三个基函数：α0(x),α1(x),β0(x)
∵H2(0)=f(0)=0,H2(1)=f(1)=1,H2'(1)=f'(1)
=
1
建立下表： （2分）
则 H2(x)=0α0(x)+1α1(x)+
1
β0(x) 因此只需求α1(x)和β0(x)两个基函数即可 2
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α1(x)=x(a+b(x 1)) 由 1=α1(x)=a 0=α1′(1)=b+a
得 a=1,b= 1,α1(x)= x+2x （2分）
2
β0(x)=ax(x 1) 由 1=β0′(1)=2a a=a 得β0(x)=x(x 1)
从而，H2(x)= x+2x+
2
(2分)
113
x(x 1)= x2+x (1
分) 222
(1分)
13
≈H2(2)= ×22+×2=1
22
2. 求f(x)=3x+2x+x+1在区间[ 1,1]上的最佳二次一致逼近多项式.
3
2
1*
3
11*
则Q(x)的首项系数为1, 并且当Q(x)=[f(x) P2(x)]=2T3(x)时,
32
*
解：设所求的2次最佳一致逼近多项式为P2(x). 令Q(x)=[f(x) P2(x)].
（2分）
Q(x)与0的偏差最小, 即f(x)与P2*(x)的偏差最小.
3
（2分） （2分）
因为[ 1,1]上的3次切比雪夫Chebyshev多项式为T3(x)=4x 3x. 所以P2(x)=f(x) T3(x)=3x+2x+x+1 (3x
*
3
4
323
913
x)=2x2+x+1. （2分） 44
15dx
∫2
11+x
3
3. 分别用辛甫生(Simpson)公式和龙贝格(Romberg)公式计算定积分:
(用龙贝格公式只需计算到S1). 并比较两种公式计算的结果. 解: 用Simpson公式计算:S=
b aa+b
[f(a)+4f(+f(b)] 62
15
根据题意:b=3,a= 1,f(x)=. 2
1+x
则
(1分)
15dx3 ( 1)3+( 1)
=[f( 1)+4f(+f(3)] 2∫1+x62 1
21534151515
=+++4+](30=26 222
61+( 1)1+11+3322
(2分)
3
=[
由Romberg公式计算积分如下：
T1=
b a3 ( 1)1515[f(a)+f(b)]=[+=2×9=18 221+( 1)21+32
(1分)
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1h13 ( 1)3+( 1)115
=24 T2=T1+f(x1)=T1+f(=×18+2×2
2222221+124141
S1=T2 T1=×24 ×18=26
3333
经比较, 得S=S1.
(1分)
(2分)
（1分）
4. 用尤拉（Euler）公式求解如下三阶常微分方程初值问题：（取步长h=0.2计算）
y'''=y(0≤x≤0.6)
y(0)=y'(0)=y''(0)=1.
解：令z=y′,w=z′, 则
(1分)
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