运筹学习题

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一、填空题：（每空格2分，共16分）

1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 无界解 和无可行解四种。

2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明 如果在该空格中增加一个运量运费将增加4 。

3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？ 错

4、如果某一整数规划：

MaxZ=X 1+X 2

X 1+9/14X 2≤51/14

-2X 1+X 2≤1/3

X 1,X 2≥0且均为整数

所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 X 1≤1 和 X 1≥2 。

5、在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是： 从第k 个阶段到第n 个阶段的最优解 。

6. 假设某线性规划的可行解的集合为D ，而其所对应的整数规划的可行解集合为B ，那么D 和B 的关系为 D 包含 B

7. 已知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条

问：（1）写出B -1=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---1003/20.3/1312

(2)对偶问题的最优解： Y ＝（5，0，23，0，0）T

8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；

9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；

10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设X i =b i 不符合整数要

求，INT （b i ）是不超过b i 的最大整数，则构造两个约束条件：Xi ≥INT （b i ）＋

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1 和 Xi ≤INT （b i ） ，分别将其并入上述松驰问题中，形成两个

分支，即两个后继问题。

11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条

问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T

（2）写出B -1=

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛611401102

二、计算题（60分）

1、已知线性规划（20分）

MaxZ=3X

1+4X 2 1+X 2≤5

2X 1+4X 2≤12

3X 1+2X 2≤8

1,X 2≥0

2）若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？

3）若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？

4）如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：

1)对偶问题为

Minw=5y1+12y2+8y3

y1+2y2+3y 3≥3

y1+4y2+2y 3≥4

y1,y2≥0

2)当C 2从4变成5时，

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σ4=-9/8 σ5=-1/4

由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。 3）当若b 2的量从12上升到15 X

＝9/8

29/8 1/4

由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则 P 6’=(11/8,7/8，－1/4)T σ6=3/8>0

所以对最优解有影响,该种产品应该生产

2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共15解：初始解为

计算检验数

由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为：

运筹学习题

重新计算检验数

所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解

3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示：

答最优解为：

X= 0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

总费用为50

4.考虑如下线性规划问题（24分）

Max z=-5x1+5x2+13x3

s.t. -x1+x2+3x3≤20

12x1+4x2+10x3≤90

x1，x2，x3≥0

回答以下问题：

1）求最优解

2）求对偶问题的最优解

3）当b1由20变为45，最优解是否发生变化。

4）求新解增加一个变量x6，c6=10，a16=3，a26=5，对最优解是否有影响

5）c2有5变为6，是否影响最优解。

答：最优解为

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132)对偶问题最优解为

Y ＝（1/22,1/11,68/33,0,0）T

3)

当b1=45时

X= 45/11

-11/90

由于X 2的值小于0，所以最优解将发生变化

4）P 6’=(3/11,-3/4)T

σ6=217/20>0

所以对最优解有影响。

5）当C 2=6

σ1=-137/33

σ4=4/11

σ5=-17/22

由于σ4大于0所以对最优解有影响

5. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（c ij , f ij ）。（15分）

V 1

(5,0) (3,3)

(3,3)

V S （4,1） V 2

(4,0)

(9,3) (8,4)

V 3 Vt

(6,0)

最大流为：14

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(9,7) (8,8) Vt V3 (6,6)

6. 考虑如下线性规划问题（20分）

Max z=3x 1+x 2+4x 3

s.t. 6x 1+3x 2+5x 3≤9

3x 1+4x 2+5x 3≤8

x 1，x 2， x 3≥0

回答以下问题：

1）求最优解；

2）直接写出上述问题的对偶问题及其最优解；

3）若问题中x 2列的系数变为（3，2）T ，问最优解是否有变化；

4）c 2由1变为2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 2)对偶问题为

Minw=9y1+8y2

6y1+3y2≥3

3y1+4y2≥1

5y1+5y2≥4

y1,y2≥0

对偶问题最优解为y1=1/5,y2=3/5

3) 若问题中x 2列的系数变为（3，2）T

则P 2’=(1/3,1/5)T

σ2=-4/5＜0

所以对最优解没有影响

4）c 2由1变为2

σ2=-1＜0

所以对最优解没有影响

7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（c ij , f ij ）。（10分）

V 1 (4,4 ) V 3

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(9,5)

(6,3)

V S (3,1) (3,0) (4,1) Vt

(5,3) (7,5)

V 2 (5,4) V 4

解：

Vt

最大流＝11

8. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过A 、B 、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：

1)建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。(15分)

2)产品Ⅲ每件的利润到多大时才值得安排生产？如产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，求最优计划的变化。(4分)

3)产品Ⅰ的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。(2分)

4)设备A 的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。(3分)

5)如有一种新产品，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1、4、3h ，预期每件为8元，是否值得生产。(3分)

6)如合同规定该厂至少生产10件产品Ⅲ，试确定最优计划的变化。(3分)

解：1）建立线性规划模型为：

MaxZ=10x1+6x2+4x3

x1+x2+x 3≤100

10x1+4x2+5x 3≤600

2x1+2x2+6x 3≤300

x j ≥0,j=1,2,3

获利最大的产品生产计划为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(100/3,200/3,0,0,0,100)’ Z*=2200/3

2）产品Ⅲ每件利润到20/3才值得生产。如果产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(175/6,275/6,25,0,0,0)’ Z*=775

3）产品Ⅰ的利润在[6,15]变化时，原最优计划保持不变。

4）设备A 的能力在[60,150]变化时，最优基变量不变。

5）新产品值得生产。

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6）最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(190/6,350/6,10,0,0,60 )’ Z*=706.7

9.给出成性规划问题：(15分)

Min z=2x1+3x2+6x3

x1+2x2+x3≥2

-2x1+x2+3x3≤-3

x j≥0 j=1,…，4

要求：

(1)写出其对偶问题。(5分)

(2)利用图解法求解对偶问题。(5分)

(3)利用(2)的结果，根据对偶问题性质写出原问题最优解。(5分)

解：1）该问题的LD为：

MaxW=2y1-3y2

y1-2y2≤2

2y1+y2≤3

y1+3y2≤6

y1≥0,y2≤0

2)用图解法求得LD的最优解为：Y*=(y1,y2)’=(8/5,-1/5)’ W*=19/5

3)由互补松弛定理：

原问题的最优解为：X*=(x1,x2,x3)’=(8/5,1/5,0)’

10.某部门有3个生产同类产品的工厂(产地)，生产的产品由4个销售点(销地)出售，各工厂的生产量，各销售点的销售量(单位.t)以及各工厂到各销售点的单位运价(元/t)示于

A1-B3和B4 28t和4t

A2-B1和B4 16t和4t

A3-B2和B4 28t和16t

最小总运费为：460元

11.求解下列0-1规划问题

maxz=3x1+2x2-5x3-2x4+3x5

x1+x2+x3+2x4+x5≤4

7x1+3x3-4x4+3x5≤8

11x1-6x2+3x4-3x5≥3

x j=0或1 (j=1, (5)

解：最优解为：x1=x2=1，其他为0 ，最优目标函数值为5

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