全等三角形辅助线举例试题与解析答案

全等三角形辅助线举例试题与解析答案

一．选择题（共1小题）

1．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为（ ）

A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有

专题： 压轴题．

分析： 要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．

解答： 解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠BCD=∠DBC=30°，

∵△ABC是边长为3的等边三角形，

∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，

∴∠DBA=∠DCA=90°，

延长AB至F，使BF=CN，连接DF，

在△BDF和△CND中， ∵，

∴△BDF≌△CND（SAS），

∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，

∵∠MDN=60°，

∴∠BDM+∠CDN=60°，

∴∠BDM+∠BDF=60°，

在△DMN和△DMF中， ∵，

∴△DMN≌△DMF（SAS）

∴MN=MF，

∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．

故选B．

点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．

二．填空题（共1小题）

2．△ABC中，AB=7，AC=3，则BC边的中线AD的取值范围是

考点： 全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．菁优网版权所有

分析： 如图，延长AD至E，使DE=AD，就可以得出△ADB≌△EDC，就可以得出CE=AB，在△ACE中，由三角形的三边关系就可以得出结论．

解答： 解：如图，延长AD至E，使DE=AD，

∵D是BC的中点，

∴BD=CD．

在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS）

∴AC=EB．

∵AC=3，

∴EB=3．

∴7﹣3＜AE∠7+3，

∴4＜2AD＜10，

∴2＜AD＜5．

故答案为：2＜AD＜5．

点评： 本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形三边关系的运用，解答时运用三角形全等将线段转化在同一三角形中是关键．

三．解答题（共13小题）

3．以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 AM⊥DE ，线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

专题： 证明题．

分析： （1）ED=2AM，AM⊥ED．延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再结合已知条件可以证明△DAE≌△ABG，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM，∠BAG=∠EDA，再延长MG交DE于H，因为∠BAG+∠DAH=90°，所以∠HDA+∠DAH=90°这样就证明了AM⊥ED；

（2）延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF，证出△FAB≌△EAD，利用全等三角形的性质得到BF=DE，∠F=∠AEN，从而证出∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°，得到FB⊥DE，根据AM∥FB，可得到AM=FB．

解答： （1）ED=2AM，AM⊥ED；

证明：延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再延长MA交DE于H．

∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180°

又∵∠DAE+∠BAC=180°，

∴∠ABG=∠DAE．

再证：△DAE≌△ABG

∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA．

延长MA交DE于H，

∵∠BAG+∠DAH=90°，

∴∠HDA+∠DAH=90°．

∴AM⊥ED．

（2）结论仍然成立．

证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF．

∵DA⊥BA，EA⊥AF，

∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD．

∵在△FAB和△EAD中，

∴△FAB≌△EAD（SAS）

∴BF=DE，∠F=∠AEN，

∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°．

∴FB⊥DE．

又∵CA=AF，CM=MB．

∴AM∥FB，且AM=FB，

∴AM⊥DE，AM=DE．

点评： 本题考查了旋转的性质和相似三角形的性质，利用旋转不变性找到三角形全等的条件．此题综合性较强，要注意观察图象的特点．

4．已知：如图，△ABC中AC=AB，AD平分∠BAC，且AD=BD．求证：CD⊥AC．

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有

专题： 证明题．

分析： 过D作DE⊥AB于E，根据等腰三角形性质推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．

解答： 解：过D作DE⊥AB于E，

∵AD=BD DE⊥AB

∴AE=AB，∠DEA=90°，

∵AC=AB

∴AE=AC

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD，

在△DEA和△DCA中，

，

∴△DEA≌△DCA，

∴∠ACD=∠AED，

∴∠ACD=90°，

∴AC⊥DC．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好， …… 此处隐藏：6968字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……