自动控制原理 第八章 离散控制系统(2)

第八章 离散控制系统 (2) 数学模型–

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1.差分方程 2.脉冲传递函数

离散系统的时域分析–

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1.稳定性 2.动态性能 3.稳态误差

上一次课的重点内容回顾：Z变换 ： Z变换的定义：采样函数的拉氏变换* KTs k E * ( s) L e ( t ) e ( KT ) e e ( KT ) z E z z eTs k 0 k 0

求Z变换的方法： 1)级数求和法(由定义式) 2)部分分式展开法，将E(s)部分分式展开，将对应典型 环节的z变换求和得出。 Z变换的性质： 1)线性性质，2)平移性质(延迟，超前),3)位移性 质，4)初值定理，5)终值定理，6)卷积和定理

线性定理Z[e1 ( t ) e2 ( t )] E1 ( z ) E 2 ( z )实数位移定理 n

Z[ae( t )] aE( z )

Z[e(t nT)] z E( z)Z [e( t T )] zE ( z ) ze (0) 2 2 Z [e( t 2T )] z E ( z ) z e(0) ze (T ) Z [e( t 3T )] z 3 E ( z ) z 3e(0) z 2 e(T ) ze ( 2T )

终值定理

e( ) lim e(t ) lim( z 1) E ( z )t z 1

Z反变： e(kT ) Z 1[ E( z )]1)长除法 得到一个降幂排列的级数 (简单，开式) 2) 部分分式法步骤：① 先将变换式写成E(z) z

,展开成部分分式，

E ( z ) n Ai z i 1 z z i

② 两端乘以z ③ 查z变换表*

Ai z E (z) i 1 z z i

n

a

k

z z a

e(kT) Ai zi ki 1

n

e (t ) e(kT ) (t kT )i 1

n

e(t ) e( kT )采样

e * ( t ) e( kT ) ( t kT )k 0

Z[ ]

e( kT )

Z-1[ ]

E ( z ) Z [e * ( t )] e( kT ) z kk 0

8.5 离散系统的数学模型数学模型是系统定量分析的基础。 连续系统—微分方程—L变换—代数方程—传递函数 离散系统—差分方程— Z变换—代数方程—脉冲传函 类比：相似性 把握住两者的共同点和不同点，可事半功倍！

8.5.1 差分方程 在离散系统中，由于采样时间的离散性，要描述脉 冲序列随时间的变化规律，需采用差分的概念。 1. 差分的定义差分：是采样信号两相邻采样脉冲之间的差值。一系列差值变 化的规律，可反映出采样信号的变化规律。

设离散函数序列e(kT) ,为了方便可简写为e(k)。

1)

前向差分 是下一时刻采样值e(k+1)与现在时刻采样值e(k) 之差 Δ e(k) 。即 Δ e(k)= e(k+1) - e(k) Δ e(k)称为一阶前向差分。e*(t)

二阶前向差分:Δ2e(k)=Δ[Δe(k)]=Δ[ e(k+1) - e(k)] = Δe(k+1) - Δe(k)] = [ e(k+2) - e(k+1)] - [ e(k+1) - e(k)] = e(k+2) - 2e(k+1) +e(k)

Δe(k)

▽e(k)

(k-1)T kT (k+1)T

t

n阶前向差分: ne(k ) n 1[ e(k )] n 1e(k 1) n 1e(k ) n! ( 1) e (k n i ) i! (n i )! i 0i n

2)

后向差分 是现在时刻采样值e(k)与上一时刻采样值e(k

-1)之差 ▽e(k) 。即， ▽e(k)= e(k) - e(k-1) ▽e(k)称为一阶后向差分。 e*(t) 二阶后向差分: Δe(k)▽2e(k)=▽[▽e(k)]=▽[ e(k) - e(k-1)] = ▽e(k) - ▽e(k-1)] = [ e(k) - e(k-1)] - [ e(k-1) - e(k-2)] = e(k) - 2e(k-1) +e(k-2)]▽e(k)

(k-1)T kT (k+1)T

t

n阶后向差分: ▽ne(k)=▽n-1[▽e(k)]=▽n-1e(k) - ▽n-1e(k-1)]=

n! e( k i ) ( 1) i 0 i! ( n i )!n i

2. 线性常系数差分方程对于单输入单输出线性定常离散系统，在某一采样时刻的输

出值 c(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有关，而且与过去时刻的 输入值r(k-1)、 r(k-2)…有关，还与过去的输出值c(k-1)、 c(k-2)… 有关。可以把这种关系用n阶后向差分方程描述：

c( k ) a1c( k 1) an c( k n) b0 r ( k ) b1r ( k 1) bm r ( k m )n—系统的阶次

在实际当中， 应用较广泛

k—系统的第k个采样周期m n

线性定常系统差分方程的一般形式。 递推形式c (k ) b j r (k j ) ai c (k i )j 0 i 1

特别适合在计算机上求解。比连续系统方便！

线性定常离散系统，也可以用n阶前向差分方程 描述, 即

c( k n) a1c( k n 1) an c( k ) b0 r ( k m ) b1r ( k m 1) bm r ( k )n—系统的阶次 递推形式m n

k—系统的第k个采样周期在实际当中， 较少应用

c(k n) b j r (k m j ) ai c(k n i )j 0 i 1

3. 差分方程的解法 有经典法*-较繁琐：通解+特解、迭代法和z变换法。 1) 迭代法 线性定常系统差分方程可以写成递推形式c (k ) b j r (k j ) ai c (k i )j 0 i 1 m n

c(k n) b j r (k m j ) ai c(k n i )j 0 i 1

m

n

当给出输出函数的n个初始值后，可以从n+1个值 递推计算下去，它适合于计算机运算，简单快捷。例8-18 已知离散系统的后向差分方程 c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k) 初始条件c(0)=0, c(1)=1。 试用迭代法求在r(k)=1(k)=1 (k>0)作用下的输出序列。

解：可以写出后向差分方程的递推形式c(k)= r(k) + 5c(k-1)-6c(k-2)

根据初始条件c(0)=0, c(1)=1,并令k=2, 3, 4…,逐 拍递推，有 c*(t) k=0 c(0)=0 k=1 c(1)=1 初始条件 k=2 c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6 k=3 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25 k=4 c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90 T 2T 3T 4T … 由此可以画出输出c(k)随时间变化的曲线。n阶方程需要n个初始值，从n+1开始递推，初始值 不同解也不同，初始值可以看作为输入。

t

* 例8-19 将后向差分方程 c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k) 转换为前向差分方程，并用迭代法求输出序列c(k)。 解： 对后向差分方程 c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k) 令k’=k-2,则变换为前向差分方程 c(k’+2)-5c(k’+1)+6c(k’)=r(k’+2)对应的初始条件可根据原方程初值及变量和的关系求

出。

当，k’=0有k=2,则 c(k’)|k’=0 =c(0’)=6 r(k’)|k’=0 =r(0’)=1 当，k’=1有 …… 此处隐藏：1715字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……