三角函数的图象与性质

一、选择题

1.函数y=的定义域为( C )

(A)

(B),k∈Z

(C),k∈Z

(D)R

解析:由题意得cos x≥,

∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.

故选C.

2.(20xx遵义模拟)若函数f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为( C )

(A)(B)(0,0)

(C)(D)

解析:f(x)=sin(a>0),

又函数的最小正周期为1,

故=1,

∴a=2π,故f(x)=sin.

将x=-代入得函数值为0.

故选C.

3.(20xx济南模拟)使函数f(x)=sin(2x+φ)为R上的奇函数的φ值可以是( C )

(A)(B)(C)π(D)

解析:要使函数f(x)=sin(2x+φ)为R上的奇函数,需φ=kπ,k∈Z.故选C.

4.函数f(x)=sin x cos+sin sin的图象( D )

(A)关于原点对称

(B)关于y轴对称

(C)关于点对称

(D)关于直线x=对称

解析:利用诱导公式可得f(x)=sin xcos+cos

xsin=sin=sin,f(0)=-≠0,f(-x)=sin≠f(x),故选项A、B 均错误;f=sin=-1≠0,选项C错误;f=sin=1,选项D正确,所以选D.

5.(20xx温州模拟)已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)为偶函数(0<φ<π),其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分别为x1,x2,若|x2-x1|的最小值为π,则该函数的一个递增区间可以是( A )

(A)(B)

(C)(D)

解析:由函数为偶函数知φ=+kπ(k∈Z),

又因为0<φ<π,

所以φ=,

从而y=2cos ωx.

由题意知函数的最小正周期为π,

故ω=2,

因此y=2cos 2x,

经验证知选项A满足条件.故选A.

6.(高考天津卷)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则( A )

(A)f(x)在区间[-2π,0]上是增函数

(B)f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数

(C)f(x)在区间[3π,5π]上是减函数

(D)f(x)在区间[4π,6π]上是减函数

解析:∵f(x)的最小正周期为6π,

∴ω=,

∵当x=时,f(x)有最大值,

∴×+φ=+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ,

∵-π<φ≤π,

∴φ=.

∴f(x)=2sin,由函数f(x)的图象(图略)易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间

[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增函数.故选A.

二、填空题

7.函数f(x)=sin x+cos x的值域是.

解析:∵f(x)=sin x+cos x

=2sin,

又x∈,

∴x+∈,

∴2s in∈[-1,2].

答案:[-1,2]

8.函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是.

解析:由2x+=kπ(k∈Z)得,

x=-(k∈Z).

∴函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是.

答案:

9.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f=-,则f(0)= .

解析:法一由题中图象可知所求函数的最小正周期为,故ω=3,从函数图象可以看出这个

函数图象关于点中心对称,也就是函数f(x)满足f=-f,当x=时,得f=-f=-f(0),由图象知f=-,故得f(0)=.

法二根据题图,可得ω=3,

把x==代入函数解析式,得A=Acos,取一个满足这个方程的最简单的φ,令φ=-,

故函数的解析式是f(x)=Acos,

由f=-,可得Acos=-,

由此得A=,

故函数的解析式是f(x)=cos,

故f(0)=×=.

答案:

三、解答题

10.已知函数f(x)=asin-cos x,且f=.

(1)求实数a的值;

(2)求函数y=f(x)·cos x的最小正周期和单调递增区间.

解:(1)因为f(x)=asin-cos x,

且f=,

则有a-=,所以a=1.

(2)由(1)知,f(x)=sin-cos x=sin x,

所以y=f(x)·cos x=sin xcos x=sin 2x,

其最小正周期T=π.

由2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z),

得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),

故函数y=f(x)·cos x的单调递增区间为

(k∈Z).

11.(20xx北京西城区期末)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x,x∈.

(1)求f(x)的零点;

(2)求f(x)的最大值和最小值.

解:(1)令f(x)=0,得sin x·(sin x+cos x)=0,

所以sin x=0或tan x=-.

由sin x=0,x∈,得x=π;

由tan x=-,x∈,得x=.

综上,函数f(x)的零点为或π.

(2)f(x)=(1-cos 2x)+sin 2x

=sin+.

因为x∈,所以2x-∈.

所以当2x-=,

即x=时,f(x)的最大值为;

当2x-=,

即x=π时,f(x)的最小值为.