上海市高三三模

2015年上海市高三三模试卷(理科）

201505

一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若集合A x x 3，集合B xx 2，则A

B 1,2

2．函数f(x) x2,(x 2)的反函数是

y (x 4 ． 3．过点(1,0)且与直线2x y 0垂直的直线的方程x 2y 1 0

4．已知数列 an 为等比数列，前n项和为Sn，且a5 2S4 3，a6 2S5 3，则此数列的公比q

5．如果复数z满足z i z i 2（i是虚数单位），则|z|的最大值为．

2

6．函数y cosx的单调增区间为[k

2

,k ]（k Z）．

4

7．行列式 3

2k

则实数k= 14 ． 4中第2行第1列元素的代数余子式的值为 10，

2

5 11

y2

1 的两个焦点，8．设F1,F2是双曲线x 且3PFP是双曲线上的一点，1 4PF2，24

2

则 PF1F2的周长

9．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一个平面内，AB BC CD DA 1，

球心到该平面的距离是球半径的

382

倍，则球的体积是 23

1

9

10．掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和为5”的概率为11．数列 an 中，an 1

1 an

且a1 2，则数列 an 前2015项的积等于3 1 an

3

)，则c 22

12．若a,b,c均为平面单位向量,且a b

c (标表示）

1

（用坐 2

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13．在极坐标系中，动点M从M0(1,0)出发，沿极轴ox方向作匀速直线运动，速度为3米/秒，同时极轴ox绕极点o按逆时针方向作等角速度旋转，角速度为2米/秒．则动点M的

3

． 2

14．记符号min c1,c2,,cn 表示集合 c1,c2,

极坐标方程 1 列 an 满足ai ai 1

,cn 中最小的数．已知无穷项的正整数数

i N ，令b

k

min n|an k , k N ，若a20 14，

则a1 a2 ... a20 b1 b2 ... b14

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

a1x b1y c1,

15．二元一次方程组 存在唯一解的必要非充分条件是 （ D ）

ax by c 222

ab

A．系数行列式D 0 B．比例式1 1

a2b2 a1 b1

C．向量 , 不平行 D． 直线a1x b1y c1,a2x b2y c2不平行

a2 b2

16．用符号 x 表示不小于x的最小整数，如 4， 1.2 1．则方程 x x

1在2

(1,4)上实数解的个数为 （ D ）

A．0 B．1

C．2

D．3

x2

y2 1的左顶点．如果存在过点M x0,0 , x0 0 的直线交椭圆17．已知P为椭圆4

于A、B两点，使得S△AOB 2S△AOP，则x0的取值范围为 （ C ）

A

．

B

．

C． 1,2 D． 1,

18．在圆锥PO中，已知高PO=2，底面圆的半径为4，M为母线PB上一点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为 （ B ）

① 圆的面积为4 ； ②

；

③ 双曲线两渐近线的夹角为 arcsin

4

； 5

④

A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个

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三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分. 如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段

CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．

（1）求证：CD 平面AED； （2）设异面直线CB与DE所成的角为

AE 1，将 ACD（及其内部）绕AE所在直

且6

线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积． 解：（1）证明：因为CE为圆O的直径，所以 CDE

2

，即CD ED 2分

又因为AE垂直于圆O所在平面，所以CD AE 4分 又CD ED所以CD 平面AED 5分 （2）由题意知，将 ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．

因为异面直线CB与DE所成的角为

，且CB//DA，所以 ADE ， 7分 66

又因为AE 1，所以，在Rt AED中，DE 3，DA 2 9分 在Rt CDE中，CD DA 2，DE 3，所以CE 所以该几何体的体积V

10分

114

CE2 AE DE2 AE 12分 333

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

如图在半径为5cm的圆形的材料中，要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL,其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形．（O为圆心）

（1）若要使截出的“十字形”的边长相等（DE CD）（图1）,此时边长为多少？ （2）若要使截出的“十字形”的面积为最大

（图2），此时 DOE为多少？（用反三角函数表示）

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图

（

1

） 图（2）

解：（1）当“十字形”的边长相等时，过O作OM DE交DE于E，作CN⊥OM交OM

于N．设该“十字形”的边长为2x，则DM x，OM 3x． 在Rt OMD中，由勾股定理得，x 3x 25 x

2

2

5

5分 2

所以，边长2x cm 6分 （2）过O作OM DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设∠DOM ，则OM 5cos ,DM 5sin ．

ON CN 5sin ，NM 5cos 5sin ． 8分

所以，“十字形”的面积为

S (2OM)2 4(NM)2 100cos2 100(cos

sin )2 1

) ) 2

（

其中cos

1

tan ） 0 10分

22

所以，当2

2

时，Smax 50 1cm2 12分

此时， DOE 2

2

12 或 arctan 14分

225

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 设函数f(x)对任意x R，都有f(2x) a f(x)，其中a为常数．当x [1,2)时，

f(x) sin(

2

x)．

（1）设a 0，f(x)在x [4,8)时的解析式及其值域； （2）设 1 a 0，求f(x)在x [1, )时的值域． 解：（1）当x [4,8)时，于是

x

[1,2)，又f(2x)

af(x) 4

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所以f(x) af() af()即f(x) asin(

x2

2

x4

2

8

x) 3分

28

（2）由于[1, ) [1,2) [2,22) [22,23) [2n,2n 1)

对于x [2n,2n 1)(n N)得于是f(x) af() af(所以f(x) asin(

n

x [4,8)

x

0 f(x) a2即f(x)在x [4,8)时的值域为(0,a2] 6分

只研究函数f(x)在[2n,2n 1)(n N)值域即可 7分

x

[1,2) n2

x2

2

xxn) af() 222n

x

2

n 1

) x [2n,2n 1)(n N) 9分

2

22

因为 1 a 0

nnn 1

所以当n为偶数时，f(x)在[2,2)(n N)上单调减，值域为(0,a]；

且(0,1] (0,a2] (0,a4] (0,a2k] 10分

nnn 1

当n为奇数时，f(x)在[2,2)(n N)上单调增，值域为[a,0)

x

n 1

0 sin(

x

n 1

) 1

且[a,0) [a,0) [a,0) [a,0) 12分 所以f(x)的值域为[a,0) (0,1] 14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知在数列{an}中，a1 1．

（1）设an 1 2an 1（n N），求数列{an}的通项公式； （2）若an 1

352k 1

an 1当n为偶数时

，求数列{an}的前2m项和S2m；

当n奇数时 2an

1

时，是否存在一个常数p，使a2n p a2n 1对任意正整数n都an 1

（3）当an 1

成立？如果存在，请求出p的值，并证明；如果不存在，请说明理由． 解：（1）由题意an 1 2an 1，令an 1 x 2 an x ，比较得到x 1，

故有an 1 1 2 an 1 ，所以数列 an 1 是以2为首项，2为公比的等比数列， 2分

因此an 1 2 2n 1 2n，所以an 2n 1，n N . 4分

（2）由题意可知a2n 1 a2n 1，a2n 2a2n 1，所以a2n 1 2a2n 1 1，

由a1 1，可得到a2n 1 1 2n，a2n 1 2n 1，n N

所以a2n 1 1 2(a2n 1 1)，所以数列 a2n 1 1 是以2为首项，2为公比的等比数列，

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又因为a2n 2 2a2n 1 2 a2n 1 ，所以a2n 2 2a2n 2 6分

由a2 2，同样可以求得 a2n 2n 1 2，n N 8分

所以S2m a1 a2 a3 a4 a2m 1 a2m

a1 a3 a2m 1 a2 a4 a2m

2m23m 1

2 2 2 m 2 2 2 2m

m 1m 2 (2 2 m) (2 4 2m)

m 1

3m 6，即S2m 3 2m 1 3m 6 10分 3 2

1

（3）因为f(x) 在 0, 上单调递减且f(x) 0，

x 1

由an 1 f(an)，a1 1可知数列 an 中的各项均满足0 an 1

由要证明不等式的结构可令f(x) x，解得x 故猜想：0 a2n

1

， 2

5 1

a2n 1 1， 13分 2

112，a3 f() ， 223

下面用数学归纳法证明：

证明：（i）当n 1时，a2 f(1) 所以0 a2

5 1

a3 1，命题成立； 2

（ii）假设n kk N

时，命题成立，即有0 a

2k

由于f(x)在区间 0, 上单调递减， 所以 f(0) f(a2k) f(即0

1

a2k 1 1， 2

1

) f(a2k 1) f(1) 2

15 1 a2k 2 a2k 1 1， 22

再次利用函数f(x)在区间 0, 上单调递减，

得到 f(0) f(a2k 2) f(即0

5 1

) f(a2k 1) f(1)， 2

1 1 a2k 2 a2k 3 1， 22

所以n k 1时命题也成立，

1

所以0 a2n a2n 1 1

2 1

即存在常数p ，使a2n p a2n 1对任意正整数n都成立. 16分

2

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第2小题满分6分，第

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3小题满分8分.

如图，矩形ABCD中，AB 2,BC 4，以矩形ABCD的中心为原点，过矩形ABCD的中心平行于BC的直线为x轴，A建立直角坐标系，

（1）求到直线AD、BC的距离之积为1的动点P的轨迹； （2）若动点P分别到线段AB、CD中点M、N的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并指出曲线的性质（对称性、顶点、范围）；

（3）已知平面上的曲线C及点P，在C上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到曲线C的距离．若动点P到线段AB的距离与射线CD的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并作出动点P的大致轨迹．

解：（1）设P(x,y)，则y y 1 1. 2分

化简得y y 0. 故动点P的轨迹为三条平行线； 4分 （2

4

2

4.

化简得

2 y2 1.

x

2

y 4

2

2

16x2

16.

对称性：关于原点、x、y轴对称； 6

分

顶点：, , 0,0 ； 8分

范围：x y 1. 10分

作图如图（不计分）

（3）同时从几何和代数角度进行分析

当y

1时，y 112分 当

1 y 1时，x 或x 0， 14分 当y 1时，

y 1

， 16分

作轨迹大致如图.分三个区域给分： ① 在直线y 1的下方：两段曲线； ② 在两直线y 1,y 1之间：三条平行线；

③ 在直线y 1的上方：三条曲线. 18分