立体几何2012年理科高考题---学生版

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立体几何专题复习

1． [重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是( )

A．(0，2) B．(03) C．(1，2) D．(13)

2．[安徽卷] 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3． [·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1－4所示，该三棱锥的表面积是(

)

图1－4

A．28＋5 B．30＋5 C．56＋125 D．60＋5

4． [课标全国卷] 如图1－2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )

A．6 B．9 C．12 D．18

图1－2

5． [全国卷] 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为( )

A．2 B.3 C.2 D．1

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6． [湖北卷] 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一．所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其3直径d的一个近似公式d.人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.14159…判断，

9下列近似公式中最精确的一个是( )

333A．d B．d≈2V C．d D．d

915711

7． [全国卷] 三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1

＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．

8． [浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图1－3所示，则该三棱锥的体积等于________cm3.

图1－3

9． [上海卷] 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．

10．[全国卷] 如图1－1，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.

(1)证明：PC⊥平面BED；

(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

图1－1

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11． [福建卷] 如图1－3，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点． (1)求证：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；

(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．

图1－3

12． [辽宁卷] 如图1－4，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

(1)证明：MN∥平面A′ACC′；

(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．

图1－4

13． [重庆卷] 如图1－2，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．

(1)求点C到平面A1ABB1的距离；

(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值．

图1－2

14． [天津卷] 如图1－4所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD

，

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AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.

(1)证明PC⊥AD；

(2)求二面角A－PC－D的正弦值；

(3)设E与棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

15． [广东卷] 如图1－5所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.

(1)证明：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．

图1－5

16． [北京卷] 如图1－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图1－8(2)．

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

图1－9

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17． [课标全国卷] 如图1－5，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA，D是棱

AA1的中点，DC1⊥BD.

(1)证明：DC1⊥BC；

(2)求二面角A1－BD－C1的大小．

图1－5

18． [全国卷] 如图1－1，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.

(1)证明：PC⊥平面BED；

(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

图1－1

19． [浙江卷] 如图1－5所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．

(1)证明：MN∥平面ABCD；

(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．

图1－5