2012届高三《立体几何》考点分析及复习建议

长沙市明德中学 尹爱国

立体几何在高考中占据重要的地位，通过分析，可以发现对立体几何问题的考查已经突破了传统的框架，在命题风格上，正逐步由封闭性向灵活性、开放性转变。因此，如何进一步把握复习的重点，提高复习效率，从而快速的突破立体几何难点是高考复习过程中必须认真考虑的问题。

一. 学习新课程《大纲》与《考试说明》的几点体会

（1）考纲解读

1.空间几何体：该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法． 2.空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质．在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法． 3.（理科）空间向量与立体几何：由于有平面向量的基础，空间向量部分重点掌握好空间向量基本定理和共面向量定理，在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法，并注重运算能力的训练．

（2）新旧比较

与课改前的考纲要求相比，现考纲增加了“平行投影，中心投影，三视图”等内容，要求了解一些简单几何体的表面积和体积的计算方法，但对有关线面、面面平行与垂直关系的判定定理只要理解，不要求证明（理科在选修2系列中，用向量的方法加以严格的证明），且对三垂线定理及其逆定理不作要求。

二. 近几年新课程高考《立体几何》试题情况综述

高考对立体几何的考查特点主要表现在以下几个方面：

1.从命题形式来看，设计立体几何内容的命题形式基本上为传统的“四选一”的选择题型，还尝试开发了“多选填空”、“完形填空”等题型 ，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考察空间角、空间距离、面积、体积等知识，其解体思路也都是“作—证—求”，强调作图、证明和计算相结合。

2.从内容上来看，主要考查：①直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角③求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；④求简单几何题的侧面积和表面积问题，解此类问题时除套用特殊几何体的侧面积和表面积公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；⑤体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用；⑥三视图，要能辨认空间几何体的三视图，高考中三视图常于表面积、体积相结合。 3.从能力上来看，着重考察空间想象能力，即对空间几何题的观察分析和抽象的能力，要求“四

会”：①会画图——根据题设条件画出适合提议的图形或画出自己想做的辅助线（面），作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术。

三. 2011年新课程高考省份《立体几何》考点分析

（1）知识点与题型对比表

表(一)： 文科数学

棱台表面积的 计算 浙江 4 直线与平面位 置关系 5 7 组合体的 三视图 5 20

的证明，棱锥体积的 有关计算 三棱锥中线线垂直 关系的证明，二面角 的计算 14 24/150

福建

15

以正方体 为载体的 长度的计 算

5

20

以四棱锥为载体的 线面垂直关系的证 明，四棱锥体积的计 算

12

17/150

广东

9

已知三视图的 三棱锥体积的 计算

5

18

以圆锥为载体的线 线平行与垂直关系 的证明，线面垂直关 系的判定

13

18/150

表(二):理科数学 二 ：理科数学省份 选择题 题 号 北京 7 已知三视图的 四面体的面积 的计算 知识点 分 值 5 题 号 填空题 知识点 分 值 解答题 题 号 16 四棱锥中线面垂直 关系的证明；线线角 的计算；线段长度的 计算 全国 新 课 标卷 6 三棱锥与圆锥 的组合体的三 视图 5 15 以 球为背 景的四棱 锥体积的 计算 辽宁 8 四棱锥中线面 关系、线面角12

合计 知识点 分 值 14 19/150

5

18

四棱锥中的线线垂 直关系的证明，二面 角的计算

12

22/150

5

15

正三棱锥 三视图中

5

18

组合体中面面垂直 的证明；二面角的计 算

12

27/150

以球为背景的 三棱锥体积的 计算

5

面积的计 算

陕西

5

已知三视图的 正方体中去掉 一个圆锥的组 合体体积的计 算

5

16

三角形翻折成三棱 锥中面面垂直关系 的证明，有关线线角 的计算，

12

21/150

天津

10

圆 锥与长 方体组合 体三视图 体积计算

5

17

三棱锥中线线角的 计算；二面角的计 算；线段长度的计算

14

22/150

山东

11

棱柱、圆柱的三 视图

5

19

组合体中线面平行 的证明；二面角的计 算

14

23/150

江西

8

平面与平面平

5

21

以四面体为载体的

14

19/150 3

（2）2011年新课程高考《立体几何》试题情况分析

从立体几何所考查的知识点可以看出，与前几年相比，今年的该考点的试题仍着眼在一个“稳”

字上，具体体现在以下几个方面： 1.题型、题量、分值、难度稳定

2011年新课标高考的每份试卷对立体几何的考察基本上是“两小题一大题”或“一小题一大题”的形式出现的，分值约占20份。选择题、填空题主要考察空间线面位置关系的判断、空间角与距离的求解、体积与面积的计算、三视图和几何体接切问题，解答题仍然注重在一个具体的立体几何模型中考查线面位置关系。 2.考察重点、难点稳定

以空间几何体为载体的线面位置关系的判断、推理和论证，尤其是线线、线面、面面的平行和垂直的判断、推理和论证，体积与面积的计算，空间角和距离的计算，几何体之间的“接”与“切”等问题历来是高考数学的重点和热点，也是2011年高考命题的主流。

（3）新课程《立体几何》命题动向解读

考向1 空间几何体的结构、三视图、直观图

本部分在新课标高考中的考察重点是以三视图为命题背景来研究空间几何体的结构特点和求解几何体的表面积和体积。要熟悉一些典型的几何体（如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等）的三视图。2011年的新课标高考的命题重点和热点依然是以选择题、填空题的方式考察以下两个方面：①几何体的三视图与直观图的认识；②通过三视图和几何体的结合，考查几何体的表面积和体积。如新课程全国卷第8题、北京卷第8题、辽宁卷第8题、江西卷第9题等。 考向2 空间几何体的计算问题

本部分是新课标高考考查的重点内容，常以几何体的表面积和体积的计算以及几何体的外接

球、内切球的知识为主要命题点进行考察。在备考中要牢记一些典型几何体的表面积和体积的计算公式，以及几何体的棱长与它的内切球、外接球的半径之间的转换关系。如全国卷第18题、陕西卷第16题、安徽卷第19题、福建卷第20题等。 考向3 与球有关的问题

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图。如全国卷第15题、辽宁卷第12题等。 考向4 直线与平面的位置关系

空间中直线与平面的位置关系，是立体几何的核心内容。新课标高考始终把直线与平面的平行、垂直关系作为考查的重点。尤其是以多面体（主要是柱体和锥体）为载体的线面关系的论证是历年高考的必考内容。在复习备考中，要加强对相关定义、定理的深刻理解，熟练掌握符号语言、图形语言和文字语言的转换，还要注意在解题的表述和符号的书写上力求规范。对直线、平面之间的位置关系的考查，从新课程高考的命题走势可以看出：（1）选择题、填空题主要考察直线与平面的位置关系的判断、多面体模型中空间角与距离的计算、折叠问题中空间角和距离的求解。（2）解答题主要是以多面体为载体，研究直线与平面的位置关系，计算空间角和距离的大小。如全国卷第18题、山东卷第19题、湖南卷第19题、浙江卷第20题等。

考向5 空间角的计算

高考中立体几何的计算主要有两个方面，即空间几何体的表面积、体积的计算，空间角与距离的计算，其中空间角的计算时高考考查考生逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力的重点。如山东卷第19题、浙江卷第20题、湖南卷第19题等。 考向6 空间距离的计算

高考中直接考查距离求解的不多，但距离是立体几何的重要内容之一，在计算空间几何体的体积、空间角时，往往需要计算距离。距离问题的关系是“垂直”，通过做垂线把求解的距离问题纳入到一个具体的平面图形中进行计算。距离问题也与逻辑推理、空间想象密不可分，是考查逻辑推理能力和空间想象能力的深化。如广东卷第20题、北京卷第17题等。 考向7 空间向量及其运算（理科）

高考对空间向量的考查主要在立体几何的解答题中进行，试题的一般设计模式是先进行一个线面位置关系的证明，再设计一个求解空间角或距离的问题，第一个问题的意图是考查考生使用综合几何法进行逻辑推理的能力，对于空间角或距离的求解，虽然也可以使用综合几何法解决，但命题者的意图显然不是如此，其真正的意图是考查考生使用空间向量的方法解决立体几何问题的能力。如浙江第20题、天津卷第17题、全国卷第18题、湖南卷第19题等。 考向8 探索性问题

对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是根据条件作出判断,再进一步论证. 如解决探究某些点或线的存在性问题,一般的方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直),再证明其符合要求,一般来说与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形.另一种是利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有规定范围内的解”,所以使问题的解决更简单,有效.如福建卷第20题、北京卷第17题等。

四. 湖南新课程高考(2010-2011年)立体几何考点分析

五. 2012年湖南高考展望

（1）分值：17分左右，一小一大。 （2）题型及知识点：

1．以选择题或填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算．试题难

度较易或中等．文科以锥或柱的简单几何体为背景，理科可能会以组合体为背景。

2．以解答题的方法进行考查直线、平面的位置关系及空间角的计算，解答题的第一问考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明；第二问考查的重点是进行空间角和距离等问题的计算。文科以锥或柱的简单几何体为背景，空间角以线面角为主；理科以组合体为背景，空间角以二面角为主，同时还应关注对平行、垂直的探究，关注对条件和结论不完备情形下开发性问题的探究。

六. 后阶段备考复习建议

1．重视对《考试说明》的研究，并结合对2011年高考题的分析，深化对高考题的认识 (1)细心推敲对考试内容三个不同层次的要求，准确掌握哪些内容是了解，哪些内容是理解，哪些内容是掌握。这样既明白了知识系统的全貌，又知晓了知识体系的主干及重点内容； (2)仔细剖析对能力的要求和考查数学思想有哪些，明确一般的数学方法，普遍的数学思想及一般的逻辑方法（即通性通解）

２．重视课本，狠抓基础，构建良好的知识网络

立体几何难度不大，得分较为容易，对立体几何的复习首要的事情就是强化基础知识的训练，确实掌握基本概念、性质、定理、公理、推论等，能建立起完整的知识网络，同时掌握这些定理在不同题目中的用法，理解它的共性和特性。譬如对线线，线面，面面平行与垂直的证明问题。空间直线与平面位置关系的判断与证明是高考的热点，多在解答题的第一问出现。

立体几何问题可以考查考生的画图能力、高考立体几何的小题一般不给图，而大题给图往往需要添加辅助元素，所以从某种意义上说，作出一个好图等于题目解决了一半。 ３．解决几类常见立体几何问题的注意事项 （1）线面平行与垂直问题

A．采用综合法思考问题：由已知想性质定理，由求证想判断定理。 B．每一个结论都要依据条件，做到“有理有据” （２）空间角与距离问题

A．利用直接法求空间角的基本步骤是“一作二证三计算”，其中做出空间角是关键。作异面直线所成角时，要注意“巧选点，作平移”，该点常常选在所求相关线段的中点或端点，同时注意平移后的角是所求角还是其补角；作二面角平面角的方法有定义法和垂面法等；作直线与平面所成角时要注意“找线面垂直、二足（垂足、斜足）相连”，从而将空间问题转化为平面问题，最后通过解三角形求解。

B．点到平面的距离是高考考查的重点，也是基础，复习中应该重点掌握，求点到平面的距离有直接法、等体积法和向量法三种。 （3）图形的翻折与展开问题

平面图形的翻折和立体图形的展开是一对互逆问题，求解的关键是注意翻折与展开前后“变”与“不变”的相关元素，同时注意求翻折（展开）前相应的几何量。 4．严格规范解题格式

立体几何对于优生来说，难度较低，属于容易题，应拿满分，失分的主要原因是答题格式的不规范，因此，严格规范学生的答题格式至关重要。

2012-02-28