第二章 矩阵及其运算

线性代数教学用

第二章 矩阵及其运算

第一节 矩阵

一、矩阵的引入

1. 某企业生产4种产品，各种产品的季度产量（单位：万吨）如下表：

80 95 90 85

55707570

75859580

80 85 95 80

此阵列具体描述了这家企业各种产品各季度的产量，同时也揭示了产量随季节变化规律及年产量等情况.

a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2

2.线性方程组 ........................................，

an1x1+an2x2+L+annxn=bn

[其中系数aij(i,j=1,2,L,n)，常数项bi(i=1,2,L,n)]

a11a12La1nb1 a aLab212222n LLLLL

的解取决于 an1an2Lannbn

线性方程组的系数与常数项按原位置可排为上面的一张表，对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究。

二、矩阵的定义

由m×n个数aij(i=1,2Lm,j=1,2Ln)排成的m行n列的数表

a11a12La1n

a21a22La2nMMMam1am2Lamn

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a11 a

称为m×n矩阵.简称m×n矩阵. 记作A= 21

L am1

a12a22Lam2

a1n La2n LL

Lamn L

简记为A=Am×n=(aij)m×n=(aij)，这m×n个数称为A的元素，简称为元注：行列式与矩阵的区别与联系： 1. 一个是算式 ，一个是数表；

2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同； 3. 对 n 阶方阵可求它的行列式，记为: A.

元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵. 1035

例如： 是一个2×4实矩阵。

9643

1

2 是一个3×1实矩阵 4

1362i

222 是一个3×3复矩阵 (4) 是一个1×1实矩阵 222

三、几种特殊矩阵

（1）行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵.也可记作An

1362i

222 222

例如： 是一个3 阶方阵.

(2) 只有一行的矩阵 A=(a1,a2,L,an) 称为行矩阵(或行向量). a1

a

只有一列的矩阵B= 2 称为列矩阵（或列向量）

M an

λ1000 0λ 002 的矩阵称为对角矩阵（简称对角阵）. （3）形如

00O0 000λ n 记作A=diag(λ1,λ2,L,λn).

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×n 零矩阵记作om×n或o. （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m

注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.

00

000 例如 00≠ 000

00

10L0 01L0

称为单位矩阵（或单位阵）. (5)方阵E=En=

LLLL

00L1

四、同型矩阵与矩阵相等的概念

1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. 12 143

与 84 为同型矩阵 56例如 37 39

2.两个矩阵A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即

aij=bij(i=1,2Lm,j=1,2Ln)

则称矩阵A与B 相等,记作A=B.

第二节 矩阵的运算

一、矩阵的加法

设

=

a11a21Mas1

a12La1n b11

a22La2n b21

,()B=bijsn=

MM M

bas2Lasn s1

b12Lb1n

b22Lb2n

MM

bs2Lbsn

A=(a)

ijsn

是两个s×n矩阵，则矩阵

a11+b11a12+b12La1n+b1n

a+b21a22+b22La2n+b2n= 21

MMM

a+bas2+bs2Lasn+bsn s1s1

C=(cij)sn=(aij+bij)sn

称为A和B的和，记为C=A+B.

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说明：矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.矩阵的加法其实就是它们对应元素的加法，也就是数的加法，所以矩阵的加法满足：

结合律：A+(B+C)=(A+B)+C; 交换律：A+B=B+A. a11 a12L a1n

a21 a22L a2n

矩阵

MMM a as2L asn s1A+( A)=O

矩阵的减法定义为：A B=A+( B) 二、数与矩阵相乘 ka11

ka21

定义：矩阵

M ka s1

ka12Lka1n

ka22Lka2n

称为矩阵A=(aij)sn与数k的数量乘积，记

MM

kas2Lkasn

称为矩阵A的负矩阵，记为 A.显然有

为kA或Ak.换句话说，用数k乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k. 数与矩阵相乘满足以下的运算规律：

1、(k+l)A=kA+lA, 2、k(A+B)=kA+kB, 3、k(lA)=(kl)A, 4、1A=A, 5、k(AB)=(kA)B=A(kB).

实例：三个煤矿B1,B2,B3到四个城市A1,A2,A3,A4的距离如下表所示：

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货物每吨公里运费为d元，求各煤矿到各城市每吨煤的运费. 解：若记

a11a12a13a14

A= aaaa21222324 a

31a32a33a34

则各煤矿到个城市每吨煤的运费可表示为

da11da12da13da14

dA= dadadada21222324 dada32da33da34 31

矩阵相加与数乘矩阵结合起来，统称为矩阵的线性运算.

k0L0

kL00

矩阵kE= 通常称为数量矩阵. MMM

00Lk

如果A是一n×n矩阵，那么有kA=(kE)A=A(kE).

这个式子说明，数量矩阵与所有的n×n矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果一个n级矩阵与所有n级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵.再有

kE+lE=(k+l)E, (kE)(lE)=(kl)E.

三、矩阵与矩阵相乘

实例：某两种合金均含有某三种金属，其成分如下表：

现有甲种合金30吨，乙种合金20吨，求三种金属的数量. 解：两种合金的成分构成矩阵记为

0.80.10.1B= 0.40.30.3

甲乙两种合金的重量构成的矩阵记为

A=(3020)

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则三种金属的数量为 …… 此处隐藏：6360字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……