2014年自主招生考试模拟试题与答案 数学

2014年自主招生考试数学模拟试题

一、一个赛跑机器人有如下特性：

（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；

（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？．

x表示不小于实数x的最小整数． 解：约定用轾犏

轾50

设步长为a米，aÎ{0.1,0.2, ,1.9}．机器人迈出步恰可跑完50米，所需间隔次

犏a犏轾50

数为-1，于是，所需时间

犏a犏

骣轾50

f(a)=a?ççç犏a桫犏

计算得：

1÷÷÷．

f(1.9)=49.4,f(1.8)=48.6,f(1.7)=49.3,f(1.6)=49.6,f(1.5)=49.5， 骣50÷

而a£1.4时，f(a)匙a-1÷÷=50-a?48.6桫a

f(1.8).

于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒．

二、在

ABC中，求三角式sinA+sinB+sinC)的最大值。

解：因为

sinA+sinB+sinC)

B+C

22A

?sinA2

骣AA=2çsin+cos.ç桫22

=sinA+

B-C

2

令x=sin

A

，则0<x<1，于是 2

骣AAf(x)=2çsin+cos2 ç桫2

=2(

x+ （ 0<x<1）

求导，得 f'(

x)=(

x+

骣2-骣2-÷'ç在x西ç上，有；在fx>

00,x西÷上，有f'(x)<0.

()çççç÷2÷桫桫2

0，得x=

2-2

.

所以fmax(x)=f(当A=

2arcsin

2-22-2

=(

3+

时，三角式sinA+sinB+

sinC)取得最大值(

3+

x2y2三、已知椭圆C:2 2 1(a b

0)，椭圆短轴的一个端点与两个焦点

ab

构成的三角形的面积为

.已知动直线y k(x 1)与椭圆C相交于A、B两点. 3

1

，求斜率k的值； 2 7

（2）若点M( ,0)，求证：MA MB为定值.

3x2y2

解：（1）因为2 2 1(a b 0)满足：

ab

c1 b 2c . (翻译，列出方程组) a2 b2 c2，

a2522

解得a 5,b ，（代入消元法解方程组）

3

x2y2

所以，椭圆方程为 1.

5

3x2y2

将y k(x 1)代入 1中，得

5

3

(1 3k2)x2 6k2x 3k2 5 0，

（1）若线段AB中点的横坐标为

36k4 4(3k2 1)(3k2 5) 48k2 20 0.

设A x1,y1 、B x2,y2 ，（设点坐标）

6k2则 x1 x2 2（韦达定理）

3k 1

因为AB中点的横坐标为

1， 2

3k21

所以 2 ,

3k 12解得

k . (解方程)

3

6k23k2 5

（2）由（1）知x1 x2 2，x1x2 ，（韦达定理） 2

3k 13k 1

7777

所以MA MB (x1 ,y1)(x2 ,y2) (x1 )(x2 ) y1y2 （内积公式）

333377

(x1 )(x2 ) k2(x1 1)(x2 1)（代入消元）

33

749

(1 k2)x1x2 ( k2)(x1 x2) k2

39

3k2 576k2492

(1 k)2 ( k)( 2) k2（用韦达定理代入消元）

3k 133k 19

2

3k4 16k2 549

k2

2

3k 19 （代数变形） 3k

2

1 k2 5 3k2 1

4

.（为定值）. 9

49 k29

四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：

（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？

（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，

商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？

解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为：

P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，

即不超过20人排队结算的概率是0.75.

（2）每天超过15人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05=

1， 2

7

一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为C7()；

12

1162221215

一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为C7()()；

22

一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为C7()()；

1

所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：

99017111621215

1 [C7() C7()() C7()()] 0.75，

22222128

所以，该商场需要增加结算窗口.

五、数列 an 中，设a1 1,a2 3，且对所有自然数n N，有

an 2 (n 3)an 1 (n 2)an.

（1）求通项an；

（2）求使an能被11整除的所有自然数n之值. 解：（1）由条件等式，得

an 2 an 1 (n 2)(an 1 an)

(n 2)(n 1)(an an 1)

(n 2)(n 1) 4 3(a2 a1)

(n 2)!

所以 an 2 an 1 (n 2)!.

于是 an a1 (a2 a1) (a3 a2) (an an 1)

=1 2! 3! n!(n 1).

（2）注意到 a4 1! 2! 3! 4! 33，能被11整除，

a8 a4 5!(1 6 6 7 6 7 8)， a10 a8 9!(1 10)能被11整除，

当n 11时，an a10 11!(1 12

n!

)能被11整除。 11!

1,2,3,5,67,9 . 故所求的自然数为n N，且n

六、 已知f(x)

a

xlnx，g(x) x3 x2 3． x

（1）当a 2时，求曲线y f(x)在x 1处的切线方程；

（2）如果存在x1,x2 [0,2]，使得g(x1) g(x2) M成立，求满足上述条件的最大整数

M；

（3）如果对任意的s,t [,2]，都有f(s) g(t)成立，求实数a的取值范围． 讲解： （1）当a 2时，f(x)

12

2

（代入法） xlnx，

x

f'(x)

2

（求导） lnx 1，2

x

f(1) 2，f'(1) 1， （求切点纵坐标，求斜率）

所以, 曲线y f(x)在x 1处的切线方程为y x 3. （斜截式） （2）存 …… 此处隐藏：4256字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……