线性代数行列式经典例题

线性代数中行列式的有关算法

线性代数行列式经典例题

例1

计算元素为aij = | i－j|的n阶行列式.

解 方法1 由题设知，a11=0，a12 1， ,a1n n 1, ，故

Dn

1 n 1

n 2

n 2

10

00

n 1n 2

ri ri 1i n,n 1, ,2

1 1

n 1 1

1 1

0

n 1 1 20

1

1 1

n 1

cj cnj 1, ,n 1

0 0

( 1)

n 1

2

n 2

(n 1)

其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．

10

n 2

00

0n 1n 2

ri ri 1i 1,2, ,n 1

1

1 n 1

1 1

11

方法2 Dn

1 n 1

n 2 0

1

cj c1

0 2

j 2, ,n

1 n 1

=( 1)n 12n 2(n 1)

2n 3 n 1

例2. 设a, b, c是互异的实数, 证明:

的充要条件是a + b + c =0.

证明: 考察范德蒙行列式:

线性代数中行列式的有关算法

=

行列式

即为y2前的系数. 于是

=

所以

x0 an

的充要条件是a + b + c = 0.

1x an 1

0 1 an 2

00 x a1

例3计算D

n

=

解： 方法1 递推法 按第1列展开，有

1x

1x

1

x

1n 1

Dn= x Dn 1+（－1）n 1an

= x Dn 1+ an

由于D1= x + a1，D2

xa2

1x a1

，于是Dn= x Dn 1+ an=x（x Dn 2+an 1）+ an=x2Dn 2+

nn 1

an 1x + an= = xn 1D1+ a2xn 2+ + an 1x + an=x a1x an 1x an

方法2 第2列的x倍，第3列的x2倍， ，第n列的xn 1倍分别加到第1列上

c1 xc2

1x0 an 1

0 1x an 2

000

x

2

Dn

0 an xan 1

x a1

线性代数中行列式的有关算法

100 00

10 0c2

x1 xc3

x3

0x 1

a2

n xan 1 xan 2an 1

an 2

an 3

x a1

0 1 1

x

1按rn展开

x

1= =

1( 1)

n 1

fx

f

x

x

xn

an 1

1x

an 1x an

方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．

x

00 0c12 xc10x0 0c3

1Dxc2

00x

0n

cn

1xcn 1

aaan 1n

n 1

anx

an 2

x anx

2

kn

按cn展开

xn 1 k 1n= xn(

anan 1a2x

n 1

+

x

n 2

+ +

x

+a1+x)

=aa an 1n

n n 1x 1x x

1

0 00按rn展开

方法4 D 1

00n

( 1)

n 1

axn

+

x

1x

0 00x

1 00( 1)

n 2

a0 1

00x

00n 1

+ +( 1)

2n 1

a02

0 x 10

0

1

x

1 00+( 1)2n

(a0x

001 x)

0

x

=（－1）

n 1

（－1）n 1

an+（－1）n 2

（－1）

n 2

an 1x

=

1n 1

线性代数中行列式的有关算法

+ +（－1）2n 1（－1）a2xn 2 +（－1）2n( a1+x) xn 1 = an an 1x a1xn 1 xn

例4． 计算n阶行列式：

a1 b1

Dn

a1 a1

a2a2 b2

a2

anan an bn

(b1b2 bn 0)

解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素a1,a2, ,an，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．

10

升阶

a1a1 b1

a1 a1

1

a1b1

00 0

a2a2a2 b2

a2

a1b1

ananan an bn

a20b2 0

an00 bn

r2 r1r3 r1 rn 1 r1

1 1 1 1

a1b10 0

a20b2 0

an00 bn

Dn 0

0

a1b10 0

c1

1bj 1

cj

j 2, ,n 1

=b1b2 bn(1

a1b1

anbn

)

这个题的特殊情形是

a1 xDn

a1 a1

a2a2 x a2

anan an x

n

=x

n 1

(x

a)

i

i 1

可作为公式记下来．

例5．计算n阶“三对角”行列式

1

1 0

0

000

000

＋ 0

Dn=

0 0

1

线性代数中行列式的有关算法

解 方法1 递推法．

Dn

按c1展开

00

00

00

( )Dn 1—

1 0

0

0

(n 1)

1

按r1展开

( )Dn 1－ Dn 2

即有递推关系式 Dn=( )Dn 1－ Dn 2 (n 3) 故 Dn Dn 1＝ (Dn 1 Dn 2)

递推得到 Dn Dn 1＝ (Dn 1 Dn 2)＝ 2(Dn 2 Dn 3)

＝ ＝ n 2(D2 D1)

而D1 ( )，D2＝

α+β1

αβα+β

n

＝ 2 2，代入得Dn Dn 1

Dn Dn 1 （2.1）

n

由递推公式得

Dn Dn 1 ＝ ( Dn 2

n

n 1

)

n

＝α

2

D

n 2

＋ n 1 n＝

βn 1－αn 1

，当α β时 n

＝ β－α

(n 1)αn 1，当α＝β时

＝ n＋ n 1 ＋ ＋

n 1

方法2 把Dn按第1列拆成2个n阶行列式

1

1 0

0

000

000

10 00

1 00

0

000

000

＋ 0

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