计算方法第7章 矩阵特征值与特征向量的计算

第7章 矩阵特征值与特征 向量的计算 引言 乘幂法 反幂法

7.1 引言定义：对于n阶方阵A,数λ0,若存在非零列向量x,使得Ax=λ0x,则称λ0 为A的特征值(特征根),x为A的属于λ0的特征向量。 定义： 以λ为未知量的方程|A-λE|=0称为方阵A的特征方程，λ的多项式|Aλ0E|称为方阵A的特征多项式，记为f(λ)。 λ0是为方阵A的特征值，x为A的属于λ0的特征向量的充要条件是：λ0是A的特 征方程|A-λE|=0的根，x是齐次线性方程组(A-λ0E)X=0的非零解向量。 因此，可以按以下步骤求方阵A的特征值和特征向量： ⒈ 计算A的特征多项式|A-λE|; ⒉ 求出A的特征方程|A-λE|=0的全部根，这是A的全部特征值； ⒊ 对A的每一个特征值λi,求出(A-λiE)X=0的一个基础解系x1,x2,……,xs,并 写成列向量的形式，这就是A的属于λi的一组线性无关的特征向量。那么 的 属于λi的全部特征向量为： k1x1+k2x2+……+ksxs 其中k1,k2,……,ks是不全为零的常数。 对于高阶方阵用上述方法求特征值，运算量大，需要求解高阶代数方程，并 且在计算机上实现也较为困难。本章介绍几种便于在计算机上实现的方法。2

7.2 乘幂法一、乘幂法的基本思想有些实际问题不需要求出全部特征值，只需要求出按模最大特征值和按 模最小特征值。乘幂法用来求按模最大特征值和与它对应的特征向量。 按模最大特征值又称为主特征值，是指绝对值最大的特征值。乘幂法的 特点是算法简单，易于在计算机上实现，特别适用于高阶稀疏方阵。乘 幂法的收敛情况与特征值的分布有关。 设n阶方阵A的特征值为λ1,λ2,……,λn,主特征值为λ1且满足|λ1|> |λ2|≥|λ3|≥……≥|λn|,对应的特征向量为x1,x2,……,xn且线性无关，那么用乘 幂法求n阶方阵A的主特征值λ1和属于λ1的特征向量x1的步骤为： 任取n维非零向量v(0)=(v1(0),v2(0),v3(0),……,vn(0))T作为初始向量，反复计算： v(k)=Av(k-1),向量(v1(k)/v1(k-1),v2(k)/v2(k-1),v3(k)/v3(k-1),……,vn(k)/vn(k-1))T记为 u(k-1),k=1,2,3,……。 当k→∞时，向量u(k-1)的各分量都收敛于主特征值λ1,并且向量v(k)/λ1k收 敛于向量a1x1,式中a1为非零常数。当k足够大时，取u(k)的任一分量作为 主特征值λ1的近似值，v(k)近似地作为属于λ1的特征向量。 乘幂法是线性收敛的，收敛速度主要由|λ2/λ1|决定。|λ2/λ1|越小，收敛越快； 如果|λ2/λ1|接近于1,那么收敛很慢。3

7.2 乘幂法二、改进后的乘幂法在上述迭代过程中，如果|λ1|≠1且迭代次数过大，那么|λ1k|会成为很大的 数或很小的数，计算v(k)≈λ1ka1x1时可能出现上溢出(数据的绝对值比能 表示的最大的数还大，导致出错)或下溢出(非零数据的绝对值比

能表 示的最小的正数还小，导致出错)。为了克服这一缺点，在每一轮迭代 v(k)=Av(k-1)之后，对向量v(k)的长度归一化。 向量长度的归一化是指把向量所有的分量都除以一个常数，使此向量中 绝对值最大的分量为1。改进后的乘幂法在每一轮迭代后，都对迭代向 量的长度归一化。与上述乘幂法类似，改进后的乘幂法求n阶方阵A的主 特征值λ1及对应特征向量x1的步骤为：任取n维非零向量v(0)作为初始向量，反复计算： ①u(k)=Av(k-1),②若u(k)各分量中绝对值最大的分量为j第个分量uj(k), 则令m(k)=uj(k),③令v(k)=u(k)/m(k), k=1,2,3,……。 当k→∞时，m(k)→λ1,向量v(k)越来越接近于属于λ1的特征向量。因此当k 足够大时，m(k)≈λ1,近似地认为向量v(k)是A的属于λ1的特征向量。4

7.2 乘幂法三、改进后的乘幂法的算法输入方阵A的阶数n。 输入A,初始迭代向量v[n],最大迭代次数maxk,主特征值精度要求ε。 求矩阵积U=AV ① 首次迭代 令m1等于数组v[n]的绝对值最大的元素。 数组v[n]各元素都除以m1,结果放入数组u[n]。 for(k=1;k<=maxk;k++) m0=m1; ② 暂存迭代结果 求矩阵积U=AV ③ 再次迭代 令m1等于数组v[n]的绝对值最大的元素。 数组v[n]各元素都除以m1,结果放入数组u[n]。 |m1-m0|<ε Y N break; k<=maxk Y N 输出主特征值m1和对应特征向量v[n]。迭代次数已超过上限，异常退出。5

7.3 反幂法一、反幂法的基本思想反幂法用来求可逆矩阵的按模最小特征值(即绝对值最小的特征值)和 与它对应的特征向量。 定理：若λ为n阶方阵A的特征值，x为A的属于λ的特征向量，则1/λ为A-1 的特征值，x也是A-1的属于1/λ的特征向量。 定理：n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件为零不是A的特征值。 由上述定理可知，λn是A的按模最小特征值，当且仅当1/λn为A-1的按模 最大特征值。用7.2中的乘幂法求出A-1的按模最大特征值，此特征值的 倒数即A的按模最小特征值，这是反幂法的基本思想。 设n阶方阵A的特征值为λ1,λ2,……,λn,按模最小特征值为λn且满足 |λ1|≥|λ2|≥……≥|λn-1|>|λn|>0,对应的特征向量为x1,x2,……,xn且线性无关， 那么用反幂法求n阶方阵A的按模最小特征值λn和A的属于λn的特征向量xn 的步骤为，任取n维非零向量v(0)作为初始向量，反复计算： ①u(k)=A-1v(k-1),②若u(k)各分量中绝对值最大的分量为j第个分量uj(k), 则令m(k)=uj(k),③令v(k)=u(k)/m(k), k=1,2,3,……。 当k→∞时，m(k)→1/λn,向量v(k) 接近于A的属于λn的特征向量。因此当k 足够大时，1/m(k)≈λn,近似地认为向量v(k)是A的属于λn的特征向量。6

7.3 反幂法一、反幂法的基本思想(续)上述方法在求u(k)时需要先求出A-1,求A的逆矩阵常常

比较麻烦。为了避 免求A-1,可以把u(k)=A-1v(k-1)变形为Au(k …… 此处隐藏：1479字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……