量子力学课后习题答案
时间：2025-07-05
量子力学习题及解答
第一章 量子理论基础
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 m与温度T成反比，即
； m T=b（常量）
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式
vdv
8 hvc
33
1
hv
dv
， （1）
ekT 1
以及 v c， （2）
vdv vd ， （3）
有
dvd c d d
v( )
v( )
8 hc
c
1
hc
5
,
e kT 1
这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作 m。但要注意的是，还需要验证 对λ的二阶导数在 m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m就是要求的，具体如下：
'
8 hc
6
1
hc
e kT
hc1
5 hc kT 1 1 e kT
0
5
hc
kT
11 e
hc
0
kT
5(1 e
hc
hc
kT
)
hc
kT
如果令x=
kT
，则上述方程为
5(1 e
x
) x
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
mT
hcxk
把x以及三个物理常量代入到上式便知
mT 2.9 10
3
m K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=hv，
P
h
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动 ec2），那么
E
p
2
2 e
如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51 106eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
hp
h2 eEhc2 ecE
2
1.24 10
9
66
m
2 0.51 10 3 0.71 10 0.71nm
m
在这里，利用了
hc 1.24 10
6
eV m
以及
ec 0.51 10eV
2
6
最后，对
hc2 ecE
2
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3 氦原子的动能是E 布罗意波长。
解 根据
1k K 10
3
32
kT
（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德
eV
，
知本题的氦原子的动能为
E
32kT
32
k K 1.5 10
3
eV,
显然远远小于 核c2这样，便有
hc2 核cE
2
1.24 10
9
9
6
3
m
2 3.7 10 1.5 10 0.37 10 0.37nm
m
这里，利用了
269
核c 4 931 10eV 3.7 10eV
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为
hc2 cE
2
hc2 kcT
2
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H=10T，玻尔磁子M
B
9 10
24
J T
1
，试计算运能的量子化间
隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。
解 玻尔——索末菲的量子化条件为
pdq
nh
其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有
E
p
2
2
12
kx
2
这样，便有
p 2 (E
12kx)
2
这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
E
12kx
2
可解出 x
2Ek
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