函数值域的求法课件

函数值域的求法授课人：蔺红芳

回顾高考：36 (02年)18、已知x > 0, 函数y = x + () 5 xA C 有最小值-7 有最小值7 B D 有最大值7 有最大值-7

2 (03年)12、函数 f ( x) = x 6 x + 3在x ∈ [ 1,1] 上的最小值是——

(07年)、函数f ( x) = x 2 + 2 x + 3的值域是 — — 3

(09年)35、设x 2 + y 2 2 x + 4 y = 0.

证明：x 2 y的最大值为 . 10

证明： x + y 2 x + 4 y = 0, Q2 2

∴ ( x 1) + ( y + 2) = 5.2 2

设x = 1+

5 cos θ , y = 2 +

5 sin θ (θ ∈ [0 , 2 π ),则

x 2 y = ( 1 + 5 cos θ ) 2( 2 + 5 sin θ )

= 5 2 5 sin θ + 5 cos θ1 = 5 10 sin(θ )(tan = ) 2 当sin(θ ) = 1时，x 2 y有最大值10.

学习目标： 1、掌握求函数值域的常用方法： 观察法、配方法、换元法、判别式 法、反函数法、图像法、均值定理 等。 2、培养观察分析、抽象概括能力 和归纳总结能力。

求下列函数的值域：

(一)、观察法：

1、f ( x) = 3 + 2 x + 5解： Q 2 x + 5 ≥ 0 ,

∴ 3 + 2 x + 5 ≥ 3.函数值域为： f ( x ) ∈ [ 3 , +∞ ).2

f ( x) =

(二)、配方法(形如y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0))

2、f ( x) = x 2 x + 3, x ∈ [0,3]2

解： f ( x) = x 2 2 x + 3 = ( x 1) 2 + 2 Q

∴ 对称轴为x = 1.

y6

Q x ∈ [0,3]

54 3

图像如图：

. 函数的值域为：y ∈ [2,]. ∴ 6

2 1o 1 2 3 4

2 1

x

(三)、换元法(形如y = ax + b ± cx + d (ac ≠ 0))

3、y = 2 x + 3 x解：设 3 x = t (t ≥ 0),则x = 3 t 21 2 49 Q f (t ) = 2(3 t ) + t = 2t + t + 6 = 2(t ) + , 4 82 2

1 ∴对称轴为 = . t 4 Qt ≥ 0, .y = f ( 1 ) = 49 . ∴ max 4 8

a2 x 2 + b2 x + c2 (四)、判别式法(形如y = (a1 , a2不同时为0)) 2 a1 x + b1 x + c1 2

解：由y = f ( x)可知，对x ∈ R分母恒不为零，则原式可变形为(x 2 + x + 1) y = 3x 2 + 3x + 1, 整理成关于x的方程，得

3x + 3x + 1 4、y = 2 x + x +1

( y 3) x 2 + ( y 3) x + y 1 = 0.

当y = 3时，上述方程可化为2 = 0,显然不成立；当y ≠ 3时， = ( y 3) 2 4( y 3)( y 1) ≥ 0.

(y 3)(3 y 1) ≤ 0.1 解得 ≤ y < 3. 3 1 ∴函数的值域为：y ∈ ,3 . . 3

cx + d (五)、反函数法(形如y = (ac ≠ 0) ax + b

7x + 5 2 5、y = (x ≠ ) 3x 2 3

7x + 5 解：由 y = 得， 3x 2

2y +5 x= . 3y 77 由 3 y 7 ≠ 0 得， y ≠ . 3 7 ∴ 函数的值域为： y y ∈ R 且 y ≠ . 3

(六)图像法(适用于含有绝对值符号的函数或 分段函数) 6、y = x + 1 + x 2解：把原函数的解析式中绝对值符号去掉，化为分段函数为

y 2 x + 1, ( x ≤ 1), f ( x) = 3, ( 1 < x ≤ 2), 2 x 1, ( x > 2).

4 3 2 1 1 o 1 2

它的图像如图：

x

∴函数的值域为：y ∈ [3,+∞ ).

(七)、均值定理

(积定值，和最小；和定值， 积最大.)8 7、y = 2 x + + 3( x > 0) x

8 解： x > 0,∴ 2 x > 0, > 0. Q x∴ y = 2x + 8 8 + 3 ≥ 2 2 x + 3 = 2 × 4 + 3 = 7. x x

8 当且仅当2 x = 即x = 2( x = 2舍去)时，取等号. x

∴函数的值域为：y ∈ [7,+∞ )

.

练习：求下列函数的值域.

1、f ( x) = x 2 x + 72

3 x + 20 2、 y = 8x 5

y ∈ ( ∞,8]

3 y ∈ y y ∈ R且y ≠ 8 2x 2x 4、y = 2 x +4

3、y = 2 x x 1 5 y ∈ ,+∞ 8

1 1 y ∈ , 2 2