选修4-5.3柯西不等式与排序不等式(人教A版数学理2013高中复习方略

高中全程复习方略·数学(RJA版·理科)

第三节　柯西不等式与排序不等式

授课提示:对应学生用书起始页码P23

9

22222222

…+a)(…+b)则(ab≥1+a2+a3+n1+b2+b3+n

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了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们1.

()·柯西不等式的向量形式:1|α|||≥|α·|ββ

考纲点击

22222

()()·()2ac(ac+bd)(121222

x(23)2-3)yy

三年1考　高考指数:★

的几何意义并会证明.

…,…,k,使得a3,n)kbi=1,2,3,n)i=i(

时,等号成立.　

2((当且仅当abababab0i=1,2,11+22+33+…+nn),i=

)思考:在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等　(1号的条件可以写成a=c吗?

bd

提示:不可以.当b=d=0时,柯西不等式成立,但=

用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:2.

i=1

222∑ab∑abi·∑i≥(ii)

≥

n

通常称为平面三角不等式)1313nn

i=1i=1

不成立

.

不等式吗?

会用向量递归方法讨论排序不等式.3.

会用上述不等式证明一些简单问题,能够利用柯4.

西不等式求一些特定函数的极值.

22222

())()思考:不等式(是柯西2a+bd+c≥(ac+bd)

提示:不是.因为二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系,对谁与谁组合是有顺序的,不是

22()若2则43x+3x+9y=1,y的最小值为

利用柯西不等式、排序不等式证明不等式、求特1.

定代数式的最值,以及解决一些实际问题的优化考设计等是本节考查的重点.

情

常与函数、不等式、数列、向量等知识进行综合考播2.

报查,是本节的难点、重点.

任意的搭配,因此要仔细体会,加强记忆.

.

22222

【(·()解析】4x+91+1≥(2x+3y)y)=122∴4x+9y≥

考点梳理

(划线部分为教师用书独具)

柯西不等式1.

()二维形式的柯西不等式1①代数形式

22222

)(),若a,则(b,c,d都是实数,a+bc+d≥(ac+bd)

排序不等式2.

()顺序和、乱序和、反序和的概念1

1答案2

1.2

…,…,则称acccbb1,2,n是b1,2,n的任一排列,i与,,…,按相同顺序相乘所得积的和bi

=12n)babi(11+22+…+和按abacacacnn为顺序和,11+22+…+nn为乱序和,相反顺序相乘所得积的和ababab1n+2n-1+…+n1为反序()排序不等式(排序原理)2和.

设aaaabbbb1≤2≤3≤…≤n,1≤2≤3≤…≤n为两组实数,

②向量形式

设α,则|当且仅当α·βα|||,β是两个向量,β

或存在实数k,使α=等号成立.k是零向量,β时,③三角形式

,那么设xx1,1,2,2∈Ryy)三维形式的柯西不等式2

xx1-2)+(1-2).yy

2

2

当且仅当等号成立.d=bc时,

设aaabbbcc1≤2≤…≤n,1≤2≤…≤n为两组实数,1,2,…,…,则cbbbabn是b1,2,n的任一排列,1n+2n-1+…+且仅当反序和等aabb1=2=…=n或b1=2=…=n时,于顺序和.

y1+1+

2

2y2+2≥

2

2

当abcacacabababn1≤11+22+…+nn≤11+22+…+nn,

222222

,)()　设a则(aabbbaaabbb1,2,3,1,2,3∈R1+2+31+2+

3

2

当且仅当b)顺序和、反序和、乱序和的大小关系是.≥(abababbb0或存在　(11+22+33).1=2=3=1

)一般形式的柯西不等式3

一个数k,使得a等号成立.kbakbakb1=1,2=2,3=3时,…,…,设aaaabbbb1,2,3,n,1,2,3,n是实数,

(),已知两组数1,若c22,3和4,5,6,cc5,6的1,23是4一个排列,则1最小c2c3c1+2+3的最大值是　　　　,值是　　　　.

47　0

()教师师德修养:没有更理想的事可做之前,先潜心做好眼前的事、手中的事。(用学习、吸收的观点看待别人、看待学问、看待12)

)事物,会使自己变得强大、乐观、胸怀宽阔。(辩证地分析把握自己,就不会因为自己的不足而苦恼,也不会因为自己的一点成绩3)而骄傲。(和别人在相互尊重的氛围中工作,会使你心情舒畅地走向成功。4

选修4-5　第三节

()设正实数a则13aa′a′a′1,2,3的任一排列为a1,2,3,′1a23

的最小值为.++

a′23【()解析】由排序原理可知:反序和≤乱序和≤顺序和.1

aa其反序和1+2+3=3

aa123

则由乱序和不小于反序和知

()由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大,反序和2

最小,故最大值为3最小值为22,8.()不妨设0<则1≥1≥1.3aaa1≤2≤3,

a123

aaa123123

++≥++=3.a′aa123123aa123

的最小值为3.∴++

a′a′123

()答案:反序和≤乱序和≤顺序和1

())

232　28　　(33

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利用柯西不等式的解题方法

222

在利用柯西bb≥(ababab2+…+n)11+22+…+nn),

不等式证明不等式(或比较大小)时关键是正确构造2222()(柯西不等式的一般结构为(1aaab1+2+…+n)1+

利用柯西不等式比较大小　

2229

∴++>.a+bb+c+aa+b+c

答案:2+2+2>9

a+bb+c+aa+b+c

【反思·感悟】由a,b,c构造成的新数++c,

不但需要较高的观

+a()使用柯西不等式时,既要注意它的数学意义,又要2

注意它的外在形式,当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致形式时,就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩小.

左边的两个数组,从而利用题目的条件正确解题.

【变式训练】设a且aaaaa1,2,3均为正数,1+2+3=m,111【解析】++

aaa123=≥

则1+1+1与9的大小关系为　　　　　　　.aa123

察能力,而且应从所给的数学式中看出.

【】例1设a,且不全相等,则2+2+2b,c为正数 …… 此处隐藏：2914字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……