2019版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式测评新人教A版选修4_5

第三讲柯西不等式与排序不等式

测评

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.下列不等式中一定成立的是()

A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)

B.|ax+by|≥

C.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2

D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2

,只有C项正确.

2.设xy>0,则的最小值为()

A.-9

B.9

C.10

D.0

=9.

3.设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,c1,c2,…,c n是b1,b2,…,b n的任一排列,则和S=a1b n+a2b n-1+…+a n b1,T=a1c1+a2c2+…+a n c n,K=a1b1+a2b2+…+a n b n的关系是()

A.S≤T≤K

B.K≤T≤S

C.T≤K≤S

D.K≤S≤T

,则S≤T≤K.

4.若3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是()

A. B. C. D.2

(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥()2=7,于是

x2+y2+z2≥,当且仅当=z,即x=,y=,z=时,等号成立,故x2+y2+z2的最小值是.

5.用柯西不等式求函数y=的最大值为()

A. B.3C.4D.5

,得函数

y==4,

当且仅当时,等号成立,

故函数y的最大值为4.故选C.

6.已知=1(a>b>0),设A=a2+b2,B=(x+y)2,则A,B间的大小关系为()

A.A<B

B.A>B

C.A≤B

D.A≥B

2+b2=1·(a2+b2)=(a2+b2)≥=(x+y)2=B,即A≥B,当且仅当时,等号成立.

7.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是()

A.M≥N

B.M>N

C.M≤N

D.M<N

:a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和.

而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知此题中,M>N.

8.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是()

A.5

B.6

C.8

D.9

x+

≥=9,

当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+的最小值是9.

9.已知a,b是给定的正数,则的最小值为()

A.2a2+b2

B.2ab

C.(2a+b)2

D.4ab

=(sin2α+cos2α)

≥=(2a+b)2,

当且仅当sin α=cos α时,等号成立.

故的最小值为(2a+b)2.

10.已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,则的最小值为()

A.1

B.9

C.36

D.18

(x+2y+2y+3z+3z+x)·≥(1+2+3)2, ∵x+2y+3z=1,

∴2≥36,

∴≥18,

∴当且仅当x+2y=,即x=,y=0,z=时,的最小值为18.

11.在锐角三角形ABC中,设p=,q=a cos C+b cos B+c cos A,则p,q的大小关系是()

A.p≥q

B.p=q

C.p≤q

D.无法确定

A≥B≥C,则a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C.

则由排序不等式可得q=a cos C+b cos B+c cos A≥a cos B+b cos C+c cos A,①

a cos C+

b cos B+

c cos A≥a cos C+b cos A+c cos B,②

由①+②得2(a cos C+b cos B+c cos A)≥a cos B+b cos A+b cos C+c cos B+c cos A+a cos C,

即2(a cos C+b cos B+c cos A)≥2R(sin A cos B+cos A sin B)+2R(sin B cos C+cos B sin C)+2R(sin C cos A+cos C sin A),

整理,得a cos C+b cos B+c cos A≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)]

=R(sin A+sin B+sin C)

==p.

12.导学号26394060设P为△ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.若△ABC的周长为l,面积为S,则的最小值为()

A.B.C.D.

AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2S.

∵(a3b3+a2b2+a1b1)≥=(a3+a2+a1)2=l2,∴

,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.若=2,=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.

()()≥(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)2≤6,所以x1y1+x2y2+x3y3≤,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.

14.若a,b,c>0,则a+b+c.

a≥b≥c>0,则ab≥ac≥bc>0,>0,则由排序不等式可得

≥ab·+ac·+bc·=a+b+c(当且仅当a=b=c时,等号成立).

15.设正实数a1,a2,…,a100的任意一个排列为b1,b2,…,b100,则+…+的最小值为.

0<a1≤a2≤…≤a100,则0<≤…≤,由排序不等式可得

+…+≥a1·+a2·+…+a100·=100,即+…+的最小值为100.

16.边长为a,b,c的三角形,其面积为,外接圆半径为1,若s=,t=,则s与t 的大小关系是.

S=,

即abc=1,所以t=ab+bc+ca,

t2=(ab+bc+ca)

≥()2=s2,

又a,b,c>0,所以s≤t.

≤t

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证≤2.

()2=(·1+·1)2≤[()2+()2](12+12), 因此()2≤2(2a+2b+2)=8,

故≤2当且仅当a=b=时,等号成立.

18.(本小题满分12分)已知a,b,c都是非零实数,求证≥a2+b2+c2.

(b2+c2+a2)

=(b2+c2+a2)

≥=(a2+b2+c2)2,

又因为a2+b2+c2>0,

所以≥a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时,等号成立).

19.(本小题满分12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.

2x+y=2·x+·2y.

由柯西不等式可得[x2+(2y)2]

≥,

即(2x+y)2≤×1,

所以u2≤,故-≤u≤,当且仅当4y=x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得

x=±,y=±.

所以u的最大值是,此时x=,y=;

u的最小值是-,此时x=-,y=-.

20.(本小题满分12分)设a,b,c∈(0,+∞),利用排序不等式证明a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b.

a≥b≥c>0,则lg a≥lg b≥lg c,

由排序不等式可得a lg a+b lg b+c lg c≥b lg a+c lg b+a lg c,a lg a+b lg b+c lg c≥c lg a+a lg b+b lg c,

以上两式相加可得2a lg a+2b lg b+2c lg c≥(b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,

即lg a2a+lg b2b+lg c2c≥lg a b+c+lg b a+c+lg c a+b,lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(a b+c·b a+c·c a+b),

故a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).

21.导学号26394061(本小题满分12分)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-

b|+c的最小值为4.

(1)求a+b+c的值;

(2)求a2+b2+c2的最小值.

因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c

≥|(x+a)-(x- …… 此处隐藏：1927字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……