第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

第八章

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不同寻常的一本书，不可不读哟！

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1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

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1个必会技巧直线和圆相交时，适当使用垂径定理(半径、半弦、弦心距满 足勾股定理)、切割线定理以及相交弦定理，可以减少运算量.

2个必记不同1. 从思路来看，代数法侧重于“数”,更多倾向于“坐标” 与“方程”;而“几何法”则侧重于“形”,利用了图形的性 质. 2. 从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几

何法更适合定性比较和较为简单的运算.第八章 第4讲第4页

3种必会方法

1. 求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关系式求出切线的斜率即可. 2. 几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、 弦长的一半及半径构成直角三角形计算. 3. 当两圆相交时，两圆方程(x2,y2 项系数相同)相减便可

得公共弦所在直线的方程.

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课前自主导学

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1. 直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径 为r) 相离 相切 相交

图形

量 方程观点 化 几何观点

Δ____0 d____r

Δ____0 d____r

Δ____0 d____r

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(1)直线4x+3y-40=0与圆x2+y2=100的位置关系 ________. (2)直线x-y+m=0与圆x 2 +y2 -2x-1=0相切，则m的值

为________.(3)直线x=0被x 2 +y 2 -6x-2y-15=0,所截得弦长等于 ________.

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2.圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2,d=|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含

图形

量的 关系

d>r1+r2

d=r1+r2

r1 - r2<d<r1+ d=r1-r2 d<r1-r2 r2

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(1)圆O 1 :x 2 +y 2 -2x=0与圆x 2 +y 2 -4y=0的位置关系 ________. (2)圆x 2 +y 2 =1与圆(x-1) 2 +y 2 =1的公共弦所在的直线 ________. (3)两圆x2+y2=r2与(x-3)2+(y+1)2=r2(r>0)外切，则r= ________.

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1. <

= >

>

= <

填一填：(1)相交 (2)-3 或 1 (3)8 1 10 2.填一填：(1)相交 (2)x=2 (3) 2

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核心要点研究

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例1 =0.

已知圆 C:x2+(y-1)2=5,直线 l:mx-y+1-m

(1)求证：对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点； (2)设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点，若|AB|= 17,求直 线 l 的倾斜角.

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[解析] (1)证明：将已知直线 l 化为 y-1=m(x-1). 故

直线 l 恒过定点 P(1,1). 因为 12+ 1-1 2=1< 5, 故点 P(1,1)在已知圆 C 内，从而直线 l 与圆 C 总有两个 不同的交点.

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(2)解：圆半径 r= 5,圆心 C 到直线 l 的距离为 d= |AB| 2 3 r - 2 = 2 ,2

|-m| 3 由点到直线的距离公式得 2 2= 2 ,解得 m= m + -1 ± 3, π 2π 故直线的斜率为± 3,从而直线 l 的倾斜角为3或 3 .

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判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 >0 相交， 判别式 (1)代数法： ――→ =0 相切， Δ=b2-4ac <0 相离. (2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小 关系：d<r 相交，d=r 相切，d>r 相离.

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