2、压力容器应力分析

CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS

2.3 厚壁圆筒应力分析

2.3 厚壁圆筒应力分析

主要内容2.3.1 弹性应力2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施

2.3 厚壁圆筒应力分析

厚壁容器： 应力

Do / Di 1.1 1.2

径向应力不能忽略，处于三向应力状态；应力 仅是半径的函数。 周向位移为零，只有径向位移和轴向位移 径向应变、轴向应变和周向应变

位移 应变

分析方法

8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问 题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。

2.3 厚壁圆筒应力分析

2.3.1 弹性应力p0

po pi

研究在内压、 外压作用下， 厚壁圆筒中的 应力。po

pi

a.

b.r

m1 n1 m pi n

m1 m

d r + dr drn1

drn

r

Ri c.

Ro d.

图2-15 厚壁圆筒中的应力

r

2.3 厚壁圆筒应力分析

2.3.1 弹性应力 有一两端封闭的厚壁圆筒(图2-15),受到内压和外压 的作用，圆筒的内半径和外半径分别为Ri、Ro,任意点的半 径为r。以轴线为z轴建立圆柱坐标。求解远离两端处筒壁中 的三向应力。

一、压力载荷引起的弹性应力

二、温度变化引起的弹性热应力

2.3 厚壁圆筒应力分析

一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向(经向)应力 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，

假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：

Ri2 pi R02 p0 pi Ri2 p0 R02 z 2 2 2 R0 Ri R0 Ri2

= A (2-25)

2.3 厚壁圆筒应力分析

2、周向应力与径向应力由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着 手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体

b. 平衡方程c. 几何方程 (位移-应变)

d. 物理方程(应变-应力)e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程

(求解微分方程，积分，边界条件定常数)

应力7

2.3 厚壁圆筒应力分析

a. 微元体 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组 成，微元在轴线方向的长度为1单位。 b. 平衡方程

r d r r dr d r rd 2 dr sin 0 2

d r r r dr

(2-26)

2.3 厚壁圆筒应力分析

c. 几何方程 (应力-应变)m'1 n' 1 w+dw n

m

1

1

m' w m n

n'

d

r

图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移

2.3 厚壁圆筒应力分析

c. 几何方程(续)

径向应变

w dw w dw r dr dr(2-27)

周向应变

r w d rd rd

w r(2-28)

变形协调方程

d 1 r dr r

2.3 厚壁圆筒应力分析

d. 物理方程

1 r r z E

1 r z E

(2-29)

2.3 厚壁圆筒应力分析

e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 将式(2-28)中的应变换成应力

并整理得到：

d 2 r d r r 2 3 0 dr dr

解该微分方程，可得 r 的通解。将 r 再代入式(2-26) 得 。

B r A 2 ; r

B A 2 r

(2-33)

2.3 厚壁圆筒应力分析

边界条件为：当 r Ri 时， r pi ; 当 r R0 时， r p0 。2 pi Ri2 p0 R0 A 2 R0 Ri2

由此得积分常数A和B为：

B

pi p0 Ri2 R022 R0 Ri2

2.3 厚壁圆筒应力分析

周向应力

2 pi p0 Ri2 R02 1 pi Ri2 p0 R0 2 2 2 R0 Ri R0 Ri2 r2

径向应力

2 pi Ri2 p 0 R02 pi p 0 Ri2 R0 1 r 2 2 2 R0 Ri R0 Ri2 r2

(2-34)

轴向应力

2 pi Ri2 p0 R0 z 2 R0 Ri2

称Lamè (拉美)公式14

2.3 厚壁圆筒应力分析

表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值受力 位 应 力 分 置 析 情况

仅受内压 po=0 任意半径 r 内壁处 外壁处 r=Ri r=Ro 处2 Ro 1 2 K 2 1 r

仅受外压 pi=0 任意半径 r 内壁处 r=Ri 处2 po K 2 1 Ri 2 K 2 1 r

外壁处 r=Ro po K 2 1 po 2 K 1

r

pi

pi

0 2 pi 2 K 1

0

2 Ro 1 2 2 K 1 r

pi

K 2 1 Pi 2 K 1

2 2K 2 po K 2 R 1 i p o K 2 1 2 2 K 1 r

z

1 pi 2 K 1

K2 po 2 K 1

2.3 厚壁圆筒应力分析

zK2 1 max pi K2 1pi z K 2 1

z

m in pi

2 K2 1

r min 0

r

r min 0 z

r K2 p0

r max pi

K2 1

r max p 0

m in

p0

K2 1 K 2 1

max p0

2K 2 K 2 1

(a)仅受内压

(b)仅受外压16

图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布

2.3 厚壁圆筒应力分析

从图2-17中可见， 仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律： ①周向应力 及轴向应力 z 均为拉应力(正值),

径向应力 r 为压应力(负值)。

2.3 厚壁圆筒应力分析

②在数值上有如下规律：内壁周向应力 有最大值，其值为： max 外壁处减至最小，其值为： min

K 2 1 pi 2 K 1 2 pi 2 K 1

内外壁 之差为 pi ;径向应力内壁处为 pi ,随着 r 增加， 径向应力绝对值

逐渐减小，在外壁处 r =0;轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力

和的一半，即

z

1

r 2

2.3 厚壁圆筒应力分析

③除 z 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。

以 为例，外壁与内壁处的周向应力 之比为：

r R r R

0

i

2 K 2 1

K值愈大不均匀程度愈严重，当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服，

因此筒体材料强度不能得到充分的利用。

2.3 厚壁圆筒应力分析

二、温度变化引起的弹性热应力

1、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点

2.3 厚壁圆筒应力分析

1、热应力概念 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内 所引起的应力，称为热应力。 单向约束：

ty E t E t 1 t x t y

(2-35)

双向约束：

(2-36)

三向约束：

t t x ty z

E t 1 2

(2-37)