2014全国高中数学联赛试题(B卷)

2014全国高中数学联赛试题（B卷）

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.若函数f(x)的图像是由依次连接(0,0),(1,1)和(2,3)的折线，则f

''''' 1'(2) 2.在如下图所示的正方体ABCD ABCD中，二面角A BD C等于角函数表示）

1,x U3.对于实数集R的任意子集U，我们在R上定义函数fU(x) ,如果A,B是实数0,x U

集R的两个子集，则fA(x) fB(x) 1的充分必要条件是

4.如果三角形 ABC的三个内角A,B,C的余切cotA,cotB,cotC依次成等差数列，则角B的最大值是2n5.实数列 an 满足条件：a1 1,a2 2 1,an 1 an 1 2(n 2)，则通2an an 1

项公式an (n 1)。

x2y2

6.F1,F2是椭圆2 2 (a b 0)的两个焦点，P为椭圆上任意一点，如果 PF1F2的ab

1面积为1，tan PF1F2 ,tan PF2F1 2,则a 2

7.将一副扑克牌中的大小王去掉，在剩下的52张牌中随机地抽取5张，其中至少有两张牌上的数字（或者字母K,Q,J,A）相同的概率是 （要求计算出这个概率的数值，精确到0.01）。

8.设g(x) x(1 x)是定义在区间 0,1 上的函数，则函数y xg(x)的图像与x轴所围成图形的面积是

二、简答题（本大题共3小题，共56分）

9.（16分）设数列 an 的前n项和Sn组成的数列满足

Sn Sn 1 Sn 2 6n2 9n 7(n 1)，已知a1 1,a2 5,求数列 an 的通项公式。

10.（20分）设x1,x2,x3,是多项式方程x 10x 11 0的三个根。

（1）已知x1,x2,x3,都落在区间( 5,5)之中，求这三个根的整数部分；

（2）证明：arctanx1 arctanx2 arctanx3 3

2

x2

y2 1,A( 2,0),B(0, 1)是椭圆 上的两点，直线11.如下图，椭圆 :4

l1:x 2,l2:y 1.P(x0,y0)(x0 0,y0 0)是 上的一个动点，l3是过点P且与 相切的直线，C,D,E分别是直线l1与l2，l2与l3，l1与l3的交点，求证三条直线AD,BE和CP共点。

加 试

一、（40分）如下图：H是三个半径同为的圆的共同交点，A,B,C三点则是另外三个交点。

（1）试证明H是三角形A,B,C的垂心；（2）证明三角形A,B,C的外接圆的半径等于

R

1二、（40分）在同一直角坐标系中，函数f(x) ax 4(a 0)与其反函数f(x)的图

像恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围，并证明你的结论。

三、（50分）给定正整数k 2,a,b是非零整数，而且a b是一个奇数。假定方程akx bky a b有整数解x,y，其中0 |x y| 2。证明|a b|是某个整数的k次幂。

四、（50分）设 ABC是一个边长为23的等边三角形，在三角形 ABC的内部和边界上任取11个点，（1）证明一定存在两个点，他们之间的距离小于或等于1；（2）证明一定存在两个点，他们之间的距离严格小于1。