1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？ 、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？ 不在同一直线上的三点 ①.圆心与半径 或②.不在同一直线上的三点 圆心与半径 2、叙述角平分线的性质与判定 、

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

A

3、下图中△ABC与圆 的关系？ 、下图中△ 与圆O的关系 与圆 的关系？

是圆O的内接三角形 △ABC是圆 的内接三角形； 是圆 的内接三角形； 圆O是△ABC的外接圆 是 的外接圆

O

圆心O点叫△ 圆心 点叫△ABC的外心 点叫 的外心

B C

三角形的外接圆在实际中很有用,但还 三角形的外接圆在实际中很有用 但还 有用它不能解决的问题.如 有用它不能解决的问题 如

如图是一块三角形木料， 如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料， 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？ 的圆的面积尽可能大呢？ A

B A B C

C

A r

D C O E F B

探 究 ： 三 角 形 内 切 圆 的 作 法

思考下列问题： 思考下列问题：

1．如图，若⊙O与∠ABC ．如图， 与 的两边相切，那么圆心O的 的两边相切，那么圆心 的 位置有什么特点？ 位置有什么特点？ 圆心0在 的平分线上。 圆心 在∠ABC的平分线上。 的平分线上 2．如图 ，如果⊙O与 ．如图2，如果⊙ 与 的内角∠ △ABC的内角∠ABC的两边 的内角 的两边 相切，且与内角∠ 相切，且与内角∠ACB的两 的两 边也相切，那么此⊙ 的圆 边也相切，那么此⊙O的圆 心在什么位置？ 心在什么位置？ B M

A O N

A

C

O

B

图2

C

圆心0在 圆心 在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角 ∠ 与 的三个角 的角平分线的交点上。 的角平分线的交点上。

试一试: 试一试 你能画出一个三角形的内切圆吗? 你能画出一个三角形的内切圆吗

作法： 作法： 、作∠B、∠C的平分线 1、 、 的平分线 BM和CN，交点为 。 和 ，交点为I。 2．过点 作ID⊥BC，垂足为 。 ．过点I作 ⊥ ，垂足为D。

A

3．以I为圆心，ID为 ． 为圆心 为圆心， 为 半径作⊙ 半径作⊙I. 就是所求的圆。 ⊙I就是所求的圆。 就是所求的圆

B

N I D

M

C

想一想

1

三角形与圆 三角形与圆的位置关系

这样的圆可以作出几个?为什么?. 这样的圆可以作出几个?为什么?. ∵直线BE和CF只有一个交点I, 直线BE和CF只有一个交点I, BE 只有一个交点 并且点I ABC三边的距离相 并且点I到△ABC三边的距离相 为什么?), 等(为什么?),

B F I ●

●

A E

┓

C

∴因此和△ABC三边都相切

的圆可以作出一个, 因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个, 三边都相切的圆可以作出一个 并且只能作一个. 并且只能作一个.

议一议

3

三角形与圆 三角形与圆的位置关系

这圆叫做三角形的内切圆.这个 这圆叫做三角形的内切圆. 内切圆 外切三角形. 三角形叫做圆的外切三角形 三角形叫做圆的外切三角形. 内切圆的圆心是三角形三 内切圆的圆心是三角形三 条角平分线的交点, 条角平分线的交点,叫做三 角形的内心 内心. 角形的内心.

I

●

A

B

C

老师提示: 老师提示: 多边形的边与圆的位置关系称为切 多边形的边与圆的位置关系称为切.

定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心 内心， 切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三 角形叫做圆的外切三角形 外切三角形。 角形叫做圆的外切三角形。 性质：1.三角形的内心到三角形各边的距离相等； 1.三角形的内心到三角形各边的距离相等 三角形的内心到三角形各边的距离相等；

2.三角形的内心在三角形的角平分线上； 2.三角形的内心在三角形的角平分线上； 三角形的内心在三角形的角平分线上 A r O E F B D C

名称

确定方法

图形

A

性质

外 心 (三角形 外接圆的 圆心) 圆心)

三角形三 边中垂线 的交点

B

O

(1)OA=OB=OC (2)外心不一定在 外心不一定在 三角形的内部． 三角形的内部．

C

内 心 （三角形 内切圆的 圆心） 圆心）

三角形三条 角平分线的 交点

B

A

O

（1）到三边的 ） 距离相等； 距离相等； （2）OA、OB、 ） 、 、 OC分别平分 分别平分 ∠BAC、 、 ∠ABC、 、 ∠ACB； ； C （3）内心在三 ） 角形内部． 角形内部．

D .O G

定义： 定义：和多边形各边都相切的圆 叫做 多边形的内切 圆 ，这个 多边形叫做 圆的外切多边形

E F

。 如上图，四边形DEFG是⊙O的 外切 四边形， 的 四边形， 如上图，四边形 是 ⊙O是四边形 是四边形DEFG的 内切 的 是四边形 圆，

思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形， 思考 我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 我们所学的平行四边形 等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？ 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？

(菱形，正方形一定有内切圆) 菱形，正方形一定有内切圆)

A

1.如图 ，△ABC是⊙O的 如图1， 如图 是 的 内接 三角形。 三角形。 ． O ⊙ O是△ABC的 外接 圆， 是 的 点O叫△ABC的 外心 ， 叫 的 它是三角形 三边中垂线

B

的交点。 的交点。

C D

图1

2.如图 ，△DEF是⊙I的 外切 如图2， 如图 是 的 ⊙I是△DEF的 是 的 圆，

三角形， 三角形，

． I

内切 点I是 △DEF的 是 的 心， E 内 的交点。 它是三角形 的交点。 三条角平分线

F

图2

3. 三角形的内切圆能作 1 个,圆的外切三角形有 三角形的内切圆能作____个 圆的外切三角形有 无数 个,三角形的内心在三角形的 内部 _____ 三角形的内心在三角形的_______. 三角形的内心在三角形的

探讨1 探讨1：

(1)任意一个三角形一定有一个外接圆 并且只有一个外接圆 任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆 任意一个三角形一定有一个外接圆 并且只有一个外接圆. (2)任意一个圆一定有一个内接三角形 并且只有一个内接三角形 任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形 任意一个圆一定有一个内接三角形 并且只有一个内接三角形. (3)任意一个三角形一定有一个内切圆 并且只有一个内切圆 任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆 任意一个三角形一定有一个内切圆 并且只有一个内切圆. (4)任意一个圆一定有一个外切三角形 并且只有一个外切三角形 任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形 任意一个圆一定有一个外切三角形 正确说法有_______________________ 正确说法有 (1) (3)

1.一个三角形有且只有一个内切圆； 一个三角形有且只有一个内切圆； 一个三角形有且只有一个内切圆 2.一个圆有无数个外切三角形； 一个圆有无数个外切三角形； 一个圆有无数个外切三角形 3.三角形的内心就是三角形三条内角平 三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点； 分线的交点； 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。 三角形的内心到三角形三边的距离相等。

例题赏析

4

如图, 如图,在△ABC中,∠A=68°,点I是内心,求∠BIC的度数 ABC中,∠A=68° 是内心, BIC的度数

老师提示：若点 是外心呢 是外心呢？ 老师提示：若点I是外心呢？

例题赏析

1 A O

4 3(

如图， 是内心， 例1 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 中 是内心 ） ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 ° ° 的度数

解:

的内心， （1）∵点O是△ABC的内心， ） 是 的内心 2 1 1 ∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= ×50°= 25° )1 ° ° 2 2 B 1 1 同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= ×70° =35 ° 2 2 ° ∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3) ∠ ＋

C

= 180 °－(25°＋ 35 °) ° =120 ° 130 度。 （2）若∠A=80 °，则∠BOC = （3）若∠BOC=100 °，则∠A = 20 度。

（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存 ）试探索： 与 之间存 在怎样的数量关系？请说明理由。 在怎样的数量关系？请说明理由。

1 答： ∠BOC =90 ° + ∠A 2

理由： 的内心， 理由： ∵点O是△ABC的内心， 是 的内心 ∴ ∠1＋ ∠3 = ＋

1 1 ∴ ∠1= ∠ABC， ∠3= ∠ACB ， 2 2 1

2 )1

A O

B

4 3(

C

= 90 ° － ∠A 2 在△OBC中， 中 ∠BOC =180 °－（ ∠1＋ ∠3 ） ＋

1 = 180 °－（ 90 ° － ∠A ） 2 1

2 1 = （180 ° － ∠A ） 2 1

（∠ABC+ ∠ACB） ）

= 90 °+

2

∠A