9-5数学分析课件 高等教育出版社 杨小远编著

2007/01/10

§9.5

绝对收敛与条件收敛

一、绝对收敛⒈ 若 an 收敛, 则 an也收敛.n 1 n 1

证法1: an 收敛， 0, N , n N时，n 1

a n 1 a n p

| an 1 an p | an收敛.n 1

k n 1 n p

* a , 对 p N 成立. k * a , 对 p N 成立. k

n p

k n 1

证法2: an an ( an an ), 0 an an 2 an ( an an )也收敛. 又 an 收敛,

a n收敛.n 1

如 a n 收敛 称“绝对收敛” n 1 ⒉ 设 a n收敛, n 1 如 a 发散 称“条件收敛” n n 1

sin n! 例1. ⑴ 2 n 1 n n 1

1 an 2 n

绝对收敛.

1 ⑵ ( 1) ln(1 ) 由莱法, 知 an收敛. n n 1 1 1 ln(1 ) ~ , an 发散. 条件收敛 n n1 1 n 1 n 1 n an n (1 ) ⑶ ( ) (1 ) n 2 n 1 2 n 1 1 n e n lim an lim (1 ) 1 n n 2 n 2 2 2

由于 an 0,an 0,

发散

( 1)n 1 ( p 1) 例2. p n 1 n 1 n ( 1)

1 1 当p 1时, an p ~ p n 1 n ( 1) n 1 1 当p 1时, a n ~ n 1 n n ( 1)

绝对收敛 不绝对收敛

( 1) n 1 但是， an n ( 1) n 1由Leibniz判别法,

a 收敛.n

p 1时绝对收敛; p 1时条件收敛.

2 sin n n 例3. 证 ( 1) 条件收敛. n n 1

解： 收敛易见sin2 n 1 cos 2n an n 2n1 cos 2n 由 发散； 收敛； 2n 2n

an 发散.

条件收敛.

二、更序问题——(加法交换律推广)设 an 收敛, 任意交换 an的各项 ⒈更序定理：

的次序所得 bn也绝对收敛, 且和不变.n 1

证明： ⑴ 考虑正项级数 ann 1

设 a n S .n 1

bn的部分和: Bn (b1 b2 bn )

an S ,n 1

bn收敛, 且其和B S .

同样，将 an看成是 bn更序所得， 知S B. S B

⑵ 对任意级数 an a n an an ① 记a n 2 0 an 0 , an 0

正部

显然：

an an an an 2 0

an 0 an 0

负部

a a a n n n 0 an an , 0 an an ,且 a a a n n n a 收敛 a , a n n n收敛. 且 an an an , a a a n n n.

② 对更序级数 bn b , b 分别是由 a , a 更序所得, n n n 1 n n 1 n bn 收敛且等于 an ; bn 收敛且等于 an . n 1 n 1 n 1 n 1

bn (b b ) a a an 收敛.n 1 n 1 n

n n 1 n n 1 n n 1

注： ⑴ 绝对收敛的级数具有交换律 (与结合律) a , a n n n 1 ⑵ an条件收敛知 : n 1 lim a n 0 n

例4. 更序对计算速度的影响： 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( k k ) 1 k 1 2 2 10 2 10 10

1 1 1 1 1 1 更序为： 1 1 2 2 3 4 2 10 10 2 10 10 1 1 1 ( k 2 k 1 2 k ) k 1 2 10 10

原级数部分和：S6 m 1 1 10 1 1 ( k k ) 3m k 1 2 9 2 10 9 103 m3m

更序后：' S6 m

1 1 1 10 1 1 ( k 2 k 1 2 k ) 2 m k 1 2 9 2 10 10 9 104 m2m

1 1 误差： R6 m S S6 m 3 m 2 9 103 m 1 1 ' ' R6 m S S6 m 2 m 2 9 104 m' R6 m m 2 R6 m

第一种方法收敛要快的多！

10 计算实例：S 1.111 9

6m2m k 1

60.86

121.0486

301.11086

601.1111101 (5位) 1.1111111102 (8位) 1.1111111111102 (11位)

(3m

1 1 1 ) k 2 k 1 2k 2 10 10

1 1 ( k k) k 1 2 10

0.986

1.0955

1.111107

1 1 ( 2 k 1 2 k k ) 2 10 k 1 2

2m

1

1.047

1.1072

1.11111105

将较大的项向前调整，会使计算加速.

2.条件收敛的更序定理(Riemann) 条件收敛,则适当交换各项的次序, 可以收敛到任意指定的实数S,也可以发散 到+∞,-∞.1 1 1 1 例5. 已知1 2 3 4 5设 an

( 1)n 1

n 1

1 ln 2 n

1 1 1 1 1 1 求: 1 2 4 3 6 8 5 1 1 1 的和. 2k 1 4k 2 4k

条件收敛

解：设S 2 mS' 3m

1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ln 2 2 3 4 2m 1 2m

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 4 3 6 8 2m 1 4m 2 4m

1 1 1 1 1 1 由于 2k 1 4k 2 4k 2k 1 2( 2k 1) 2 2k1 1 1 ( ) 2 2k 1 2k