第六章 样本及抽样分布

§1 随机样本 个体：总体中的每个元素为个体。

§1 随机样本

总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。

例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每 一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高 的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。 定义：设X是具有分布函数F的随机变量，若X 1 , L X n 是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量， 则称 X 1 , L X n 为从总体X中得到的容量为n的简 单随机样本，简称为样本，其观察值 x 1 , L x n 称 为样本值。 返回主目录

第六章 样本及抽样分布§1 随机样本

由定义知：若 X 1 ,L, X n为X的一个样本，则X 1 ,L, X n 的联合分布函数为：F * ( x1 ,L , x n ) =

∏ F(x )i i =1

n

若设X的概率密度为f,则 X 1 ,L, X n 的联合概 率密度为：f * ( x1 ,L, x n ) =

∏ f (x )i i =1

n

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第六章 样本及抽样分布

§2 抽样分布 1. 定义：设 X 1 ,L X n 为来自总体X的一个样本， g( X 1 ,L X n ) 是 X 1 ,L X n 的函数，若g是连续函数，且 g中不含任何未知参数；

§2 抽样分布

则称g ( X1,L X n )是一个统计量。

设 x1,Lxn是相应于样本( X 1 , L X n )的样本值。则称g ( x1 ,L x n )是g ( X 1 , L X n )的观察值。

注：统计量是随机变量。返回主目录

第六章 样本及抽样分布

例1 X 1 ,L X n 为来自总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) 的一个样本， 设 问下列随机变量中那些是统计量 其中µ未知 , σ 已知， X1 + X n X1 + L + X n min( X 1 , X 2 , L , X n ); ; µ ; 2 n ( X 1 + X n ) 2 ( X 1 + L + X n ) nµ . ; . 2 σ nσ 2. 常用的统计量 1 n 样本均值： X = ∑ Xi n i =1 n 1 n 1 2 2 2 样本方差：S = (Xi X ) = [ ∑ X i nX 2 ] ∑ n 1 i =1 n 1 i =12

§2 抽样分布

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第六章 样本及抽样分布§2 抽样分布

样本标准差： S = S 2 =

1 n 1n

n

∑i =1

( X i X )2

1 样本k阶(原点)矩：Ak = n

∑n

X ik

k = 1,2,Lk = 1,2,L

i =1

1 样本k阶中心矩：Bk = ( X i X )k n i =1 它们的观察值分别为：

∑

1 n x = ∑ xi n i =11 s = n 12

∑

1 ( xi x ) = [ xi 2 nx 2 ] n 1 i =1 返回主目录 i =12

n

n

∑

第六章 样本及抽样分布

1 s= ( xi x ) 2 n 1 i =1 n 1 ak = x i k , k = 1,2 L n i =1

n

§2 抽样分布

∑

∑n i =1

1 bk = n

∑

( x i x ) k , k = 1,2 L

分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样 本k阶矩、样本k阶中心矩。 统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计 量的分布称为抽样分布。返回主目录

第六章 样本及抽样分布§2 抽样分布

结论：设 X 1 ,L X n 为来自总体 X 的一个样本，

EX = µ , DX = σ ,2

则E X = µ , DX =

σ2n

, ES 2 = σ 2 . (参看P129习题21.)

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第六章 样本及抽样分布

3. 常用统计量的分布

§2 抽样分布

(1) χ 分布2

设( X 1 ,L X n )为来自于正态总体 N (0,1)的样本， 则称统计量：2 χ 2 = X 12 + L + X n

所服从的分布为自由度 是n的χ 2 分布。 记为 χ 2 ~ χ 2 ( n )

χ 分布的性质：22 2 2 2 10.χ 1 ~ χ 2 ( n1 ), χ 2 ~ χ 2 ( n 2 ), 且χ 1 ,χ 2 独立，则有

χ + χ ~ χ ( n1 + n2 )2 1 2 2 2

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第六章 样本及抽样分布

2 0 . Eχ 2 = n , D χ 2 = 2 n

§2 抽样分布

证：EX i = 0, DX i = 1,

X i ~ N (0,1)

EX i2 = 1,

DX i2 = EX i4 ( EX i2 ) 2 = 3 1 = 2, i = 1,2, L n所以 Eχ 2 = E (2

n

n

∑i =1n

X i2 ) =2 Xi )

∑i =1n i =1

EX i2 = n.2 DX i

Dχ = D (

∑i =1

=

∑

= 2n.返回主目录

第六章 样本及抽样分布§2 抽样分布

α2 χα

对于给定的α (0 < α < 1),称满足条件： P{χ > χ α ( n )} = α2 2

2 的点χ α ( n )为χ 2 ( n )分布的上α分位点 。

1 当n充分大时，χ α ( n ) ≈ ( zα + 2n 1 ) 2 2 zα 是标准正态分布的上α分位点。2

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第六章 样本及抽样分布

(2) t 分布2

§2 抽样分布

X X ~ N (0,1), Y ~ χ ( n ), X , Y独立，则 称随机变量 T = Y 所服从的分布为自由度是n的 t 分布，记作T ~ t ( n ).

n

对于给定的α (0 < α < 1),称满足条件： P{t > tα ( n )} = ααt1 α (n)tα (n)

的点tα (n )为t分布的上α分位点 。

由概率密度的对称性知 ：t1 α ( n ) = tα ( n ) 当n > 45时，tα ( n ) ≈ zα .

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第六章 样本及抽样分布

(3) F 分布 则 若 X ~ χ 2 ( n1 ), Y ~ χ 2 ( n2 ), X , Y 独立， 称随机变量 X / n1 所服从的分布为自由度 F= Y / n2 是n1 , n2 的 F 分布，记作 F ~ F ( n1 , n2 ).

若 F ~ F(n1, n2 ), 则 1/ F ~ F(n2 , n1 ). 对于给定的α (0 < α < 1),称满足条件：P{F > Fα ( n1 , n 2 )} = α

的点Fα (n1 , n 2 )为F分布的上α分位点 。 结论：F1 α (n1, n2 ) = 1/ Fα (n2 , n1 )

αFα ( n1 , n2 )

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第六章 样本及抽样分布§2 抽样分布 证明：若 F ~ F ( n1 , n 2 ) 1 1 1 α = P{F > F1 α ( n1 , n 2 )} = P{ < } F F1 α ( n1 , n 2 ) 1 1 = 1 P{ ≥ } F F1 α ( n1 , n 2 ) 1 1 所以 P{ > }=α F F1 α ( n1 , n 2 ) 1 又因为 1/ F ~ F(n2 , n1),所以 Fα (n2 , n1) = F1 α (n1, n2 ) 1 即 F1 α ( n1 , n 2 ) = Fα ( n 2 , n1 ) 1 1 例： F0.95 (12,9) = = = 0.357 F0.05 (9,12) 2.80 返回主目录

第六章 样本及抽样分布

(4) 正态总体的样本均值与样本方差的分布： 2 2 定理1. 设X 1 ,L , X n 是总体N ( µ , σ )的样本，X , S

分别是样本均值与样本 方差，则有： σ2 (1). X ~ N ( µ , ).n (n 1) S (2). ~ χ 2 ( n 1) 22

σ (3). X与S 2 独立。X µ S/ n X µ ~ t ( n 1)

定理2.

证明：

σ/ n

~ N (0,1),

( n 1) S 2

σ

2

~ χ ( n 1).2

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第六章 样本及抽样分布

且它们独立。

则由t-分布的定义：

§2 抽样分布

X µ

( n 1) S 2

即：

X µ S/ n

~ t ( n 1)

σ/ n

σ 2 (n 1)

~ t ( n 1)

定理3. 设 X 1 , X 2 , L , X n1 与 Y1 , Y2 , LYn2 分别是具有相同方差的两个正态总体N ( µ1 , σ 2 ), N ( µ 2 , σ 2n) 1 n1 1 2 设 的样本，且它们独立。 X = ∑ X i , Y = ∑ Y j n1 i =1 n2 j =1 n1 1 2 分别是两个样本的均值 。S1 = ( X i X )2 ∑ n1 1 i =1 n2 1 2 S2 = (Y j Y ) 2 分别是两个样本的方差； ∑ n2 1 j =1 返回主目录

第六章 样本及抽样分布

则有：

( X Y ) ( µ1 µ 2 )2 2 ( n1 1) S1 + ( n 2 1) S 2 n1 + n 2 2

§2 抽样分布

~ t ( n1 + n 2 2)

1 1 + n1 n 2

n1 n2 ( X Y ) ( µ1 µ 2 ) 所以 ~ N (0,1) σ 1 / n1 + 1 / n 2(n1 1)S12

证： Y ~ N ( µ1 µ 2 , X

σ

2

+

σ

2

)

σ2

~ χ 2 (n1 1),+

2 (n2 1)S2

σ2

~ χ 2 (n2 1), 且它们独立。返回主目录

则

2 (n1 1)S1

2 (n2 1)S2

σ2

σ2

~ χ 2 (n1 + n2 2)。