三次方程和四次方程求根公式

三次方程和四次方程求根公式

三次方程求根公式

设一元三次方程x3+px+q=0 在复数集中的根是x1,x2,x3，那么

其中 ω1= - 1±i

2, ω2= - 1- i

2

早在古巴伦的文献中，已有一些三次、四次的数字方程。7世纪初期，我国唐朝的数学家土孝通所著的《缉古算经》一书记载了不少三次方程。阿拉伯人也很早就研究过三次方程。但是在上千年的漫长岁月里，人们寻求一般三次方程的求根公式没有进展。直到1494年，意大利数学家帕克里还宣称一般的三次方程是不可能解的。

1500年波伦亚的数学教授菲洛终于找到了形如

x3+px+q=0

的三次方程的一般解法。但他向外保密，只是秘传给他的一个学生。在菲洛死后近十年，这个学生以上述三次方程求解问题向当时意大利数学家塔塔里亚挑战。塔塔里亚也找到了方程（1）的一般解法，并公开了结果。但他也不肯公布推导过程。这件事为数学物理教授卡丹所知，便要塔塔里亚把解题的秘诀告诉他，塔塔里亚在卡丹发誓绝对保密的情况下，将证明方法告诉卡丹。卡丹不顾他的誓言，把这个解法发表在他的《重要的艺术》一书中，为此塔塔里亚向卡丹提出责难，引起双方一场论战。三次方程求根公式现在仍称为卡丹公式。塔塔里亚与卡丹的解法如下：

作变换 x=y- p ，使方程（1）化成 3y

py6+qy3- )3=0 3

令 y3=z，得 z2+qz- 13 p=0 27

三次方程和四次方程求根公式

解这个二次方程，得出z后，就可得到y的六个值，然后再利用关系式 x=y- 就可得到x的值。

根据卡丹公式，我们就能解一般的三次方程：

ay3+by2+cy+d=0 p 3y

首先把它改写为

bcdy3+ y2 + y + =0 aaa

令y=x- b

就可化成缺平方项的三次方程 3a

x3+px+q=0

3ac- b22b3- 9abc+27a2d这里p= q= 3a 27a

费拉里与一元四次方程的解法

卡当在《重要的艺术》一书中公布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式之后，塔塔利亚谴责卡当背信弃义，提出要与卡当进行辩论与比赛。这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行，代表卡当出场的是卡当的学生费拉里。

费拉里(Ferrari L.,1522～1565)出身贫苦，少年时代曾作为卡当的仆人。卡当的数学研究引起了他对数学的热爱，当其数学才能被卡当发现后，卡当就收他作了学生。

费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时，风华正茂，他不仅掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因而在辩论与比赛中取得了胜利，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。

一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后，把问题归结成了一元二次方程从而得解

三次方程和四次方程求根公式

的。于是，如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。

费拉里的方法是这样的：

方程两边同时除以最高次项的系数可得

移项可得

(1)

(2) 两边同时加上 ，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为

(3)

在（3）式两边同时加上 可得

(4)

（4）式中的y是一个参数。当（4）式中的x为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。

为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成0，即

(5)

三次方程和四次方程求根公式

这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。 把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的一元二次方程。解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。

费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：第一次配方得到（3）式后引进参数y，并再次配方把（3）式的左边配成含有参数y的完全平方，即得到

（4）式，再利用（5）式使（4）的右边也成为完全平方，从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题。 不幸的是，就象塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式被误称为卡当公式一样，费拉里发现的一元四次方程求解方法也曾被误认为是波培拉发现的。