让动点不再麻烦你!

相似三角形中动点问题

1、如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD

上滑动，当CM为何值时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？

E

N

B

M

C

A

D

2、如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，点E是边AB上一动点，且EF∥BC。

（1） 在AB上是否存在点E运动到某一位置时，使△AEF的面积与四边形

EBCF的面积相等？如果存在，求出AE的长；如果不存在，简要说明理由。

（2） 在AB上是否存在点E运动到某一位置时，使△AEF的周长与四边形

EBCF的周长相等？如果存在，求出AE的长；如果不存在，简要说明理由。

3、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.

(1)ΔABE与ΔADF相似吗？请说明理由. (2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长。

4、如图所示，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度

S BCQ

向A点运动，设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当S ABC

1

3，

S BPQ

求S ABC的值；（3）ΔAPQ能否与Δ

CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请

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说明理由。

5、如图，矩形ABCD中，CH⊥BD，垂足为H，P点是AD上的一个动点（P

60

与A、D不重合），CP与BD交于E点。已知CH＝13，DH∶CD＝5∶13，设

AP＝x，四边形ABEP的面积为y。（1）求BD的长；（2）用含x的代数式表示

y。

H

E

CB

6、如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA与△BCA相似。

7、如图，正方形ABCD边长为4，M,N分别是BC,CD上的两个动点，当M在BC上运动时，保持AM和MN垂直。 ①证明：Rt△ABM∽Rt△MCN。 ②设

BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积。 ③当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值。

APD

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8、在Rt△ACB中，∠C=90°，D是AC上一动点，点E在AB上，DE平行BC，已知：AB=5，BC=3，设CD长为x，四边形CDEB面积为y，求y关于x的函数解析式，并求出定义域

9、钝角三角形ABC 角A为钝角 AB=AC=10 BC=16 点P从A出发以2厘米每秒的速度向C运动 点Q从C出发以4厘米每秒的速度向B运动 请问时间为何时时三角形CPQ为直角三角形 （图略）

10、等边三角形ABC中,边长为6,D是BC上的动点, E在AC上,F在AB上，

EDF 600 求证:三角BDF相似三角CDE (图略)

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（2）当CM与AD对应时，由三角形相似可得：CM:AD=MN:DE,由勾股定理可以求 得：DE 5，故

2.解：（1）存在。

CM

AD MN2 DE5

若

S AEF SEBCF则S AEF

2

AB 222

1111221

AE AF AB AC AB ACS ABC

222222，2

AE

（2） C AEF CEBCF AF EF AE EB BC CF EF (AB-AE) BC (AC-FC) EF

AF

3AE24

47

AE AF 6，又 AE:AF 4:3 ，

3.解：（1）△ABE ∽△ADF

证明：∵ABCD是矩形∴AD‖BC∴∠DAF=∠AEB∵∠AFD=∠B=90°∴△ADF∽△ABE （2）∵AB=6，BE=8，∠B=90°∴AE=10∵△ABE ∽△ADF∴AD∶AE=DF∶AB∴12∶10=DF∶6∴DF=7.2

APAQ

AC 4.解：（1）AB

4x30 3x10

x 20303

（2）设△ABC中AC边上的高为H，△ABQ中AB边上的高为h，运动的时间为x S△BCQ：S△ABC=（CQ * H /2）：（AC * H / 2）=CQ:AC=3x ：30=1:3 x=10/3

此时S△ABQ:S△ABC=AQ:AC=2:3，BP=20-4*10/3=20/3，S△BPQ:S△ABQ=BP:AB=1:3

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DH

25

,CD 513 CDH BDC CHD BCD

，，，

CDH相似于

6.解法与第四题类似。

，，，

25

CDDH513 即 BDCDBD5

，，，，

BD 13

7.（1）因为四边形ABCD为正方形

所以∠B=90°∠C=90°（现在只要再找一对相等的角就好了） 因为三角形ABM为直角三角形，所以∠MAB+∠BMA=90° 又因为（题目所给条件）AM⊥MN 所以∠AMN=90°

所以∠CMN+∠BMA=90°（看前面两句 就可以判断一对角相等了） 所以∠MAB=∠CMN（现在角角条件已经具备了） 所以，Rt△ABM∽Rt△MCN （2）因为Rt△ABM∽Rt△MCN

所以BM（就是题目给的x）：CN=AB：CM＝4：（4－x） 所以CN＝（4x－x＾2）／4 （接下来梯形面积公式带入就好了） 所以解析式为y＝1／2（－x＾2＋4x＋16）

（求最大面积就是函数的最大值了 这是一元二次函数 开口向下有最大值 楼主现在用相关知识求就好了）

则 ymax＝10 此时x＝2（注：max就是最大值。知道了x的值就可以判断位置了 易知位置是在BC中点）

故：当点M运动到BC中点时四边形ABCN面积最大 为10 （3）因为AM⊥MN，且要证明Rt△ABM∽Rt△AMN 所以点M不会与点B点C重合

所以当∠BAM=∠MAN＝∠NAD＝30°时Rt△ABM∽Rt△AMN （现在要求x值 就要根据三角形边的长度来确定 ）

因为，在Rt△ABM中 ∠BAM＝30° AB=4 所以BM=4（根号3）/3

故当x=4（根号3）/3时 Rt△ABM∽Rt△AMN

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8. 解：画出一直角三角形，随意做DE//BC，已知AB=5，BC=3，则AC为4，所以四边形CDEB面积为：1/2（DE+3）X

即Y=1/2（DE+3）X ；因为 DE/3=4-X/4 所以：DE=12-3X/4 把DE代入Y=1/2（DE+3）X ，则有Y=1/2（12-3X/4+3）X 化简的结果是：Y=-3/8x^2+3X 0<X<3 9.解：作AD⊥BC，∵AC=10，CD=8∴AD=6

当∠CPQ=90°时，CP/CQ=4/5∴(10-2x)/4x=4/5解得x=25/13 当∠CQP=90度时，CQ/CP =4/5∴4x/(10-2x)=4/5解得x=10/7 即当运行25/13秒或10/7秒时，△CPQ是直角三角形 10.证明： 因为角B=角C=60 角edc+角fdb=180-60 而角bfd+bdf=180-角b=180-60

所以 角bfd=角edc 再加上角b=角c所以 三角形BDF相似三角CDE