2019版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第6讲 空间坐标系与空间向量课时作业

1 第6讲 空间坐标系与空间向量

1．下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )

A.OM →＝3OA →－2OB →－OC →

B.OM →＝12OA →＋13OB →＋15

OC → C.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0

D.MA →＋MB →＋MC →＝0

2．(人教A 版选修2­1P97习题A 组T2改编)如图X8­6­1，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1

中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA →1＝c ，则下列向量与BM →相等的向量是(

)

图X8­6­1

A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12

b ＋

c C ．－12a －12b ＋c D.12a －12

b ＋

c 3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则EF →·DC →＝( )

A.14 B ．－14 C.34 D ．－34

4．(2015年浙江)如图X8­6­2，三棱锥A ­BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是

________．

图X8­6­2

5．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，AM →＝12

MC 1→，点N 为B 1B 的中点，则|MN |＝( ) A.216a B.66a C.156a D.153

a 6．(2016年山西太原模拟)如图X8­6­3，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E

为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33

，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )

2

图X8­6­3

A ．(1,1,1) B.⎝

⎛⎭⎪⎫1，1，12 C.⎝

⎛⎭⎪⎫1，1，32 D ．(1,1,2) 7．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________．

8．(2016年浙江)如图X8­6­4，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________．

图X8­6­4

9．如图X8­6­5，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：

(1)EF →·BA →；

(2)EG 的长；

(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．

图X8­6­5

10．(2014年新课标Ⅰ)如图X8­6­6，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .

(1)证明：AC ＝AB 1；

(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A ­A 1B 1­C 1的余弦值．

图X8­6­6

3 第6讲 空间坐标系与空间向量

1．D 解析：∵M ，A ，B ，C 四点共面⇔OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，且x ＋y ＋z

＝1.∵MA →＋MB →＋MC →＝0⇔MA →＝－MB →－MC →.∴存在x ＝－1，y ＝－1，使MA →＝xMB →＋yMC →.∴MA →，MB →，MC →共面．∵M 为公共点．∴M ，A ，B ，C 四点共面．

2．A 解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB →1＋B 1M →＝AA →1＋12

(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12

b ＋

c . 3．B 解析：∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点．∴EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴EF →＝12

BD →. ∴EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12×1×1×cos 120°＝－14

. 4.78

解析：如图D153，连接DN ，取DN 中点P ，连接PM ，PC ，则可知∠PMC 为异面直线AN ，CM 所成的角，易得PM ＝12

AN ＝2，PC ＝PN 2＋CN 2＝2＋1＝3，CM ＝AC 2－AM 2＝2 2，∴cos ∠PMC ＝8＋2－32×2 2×

2＝78

，即异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是78. 图D153

5．A 解析：MN →＝AN →－AM →＝AN →－13

AC 1→ ＝AB →＋BN →－13

()

AB →＋AD →＋AA 1→ ＝23AB →＋16AA 1→－13AD →. ∴|MN →|＝

49|AB →|2＋136|AA 1→|2＋19|AD →|2＝216

a . 6．A 解析：由已知得D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)， 设P (0,0，a )(a >0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1，1，a 2. 所以DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝

⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2， |DP →|＝a ，|AE →|＝－2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝2＋a 24＝8＋a 2

2. 又cos 〈D P →，A E →〉＝33

，

4 所以－

＋0×1＋a 22a ·8＋a 22

＝33. 解得a 2＝4，即a ＝2.所以E (1,1,1)．

7. 2 解析：|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2

＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)

＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)

＝2.∴|EF →|＝ 2.∴EF 的长为 2.

8.66

解析：设直线AC 与BD ′所成角为θ.设O 是AC 中点，由已知，得AC ＝ 6.如图D154，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过点O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐

标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫302，0，0，C ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，－62，0.作DH ⊥AC 于H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直，CH ＝CD 2CA ＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56

＝306.因此可设D ′⎝

⎛⎭⎪⎫306cos α，－63，306sin α，则BD ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫306cos α－302

，－63，306sin α，与CA →平行的单位向量n ＝(0,1,0)，所以cos θ＝|cos 〈BD ′→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD ′→·n |BD ′→||n |＝63

9－5cos α.所以cos α＝1时，cos θ取最大值66

. 图D154

9．解：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .

则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b …… 此处隐藏：2002字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……