高中学生竞赛选讲：数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=

n(a1 an)n(n 1)

na1 d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则

22

an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}

是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.

定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有

n-1

an 1

q，则{an}称为等比数列，q叫做公比。 an

a1(1 qn)

定理3 等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q 1时，Sn=；当q=1时，

1 q

Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b 0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则

aman=apaq。 定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的 >0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|< ，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作liman A.

n

定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递缩等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为

a1

（由极限的定义可得）。 1 q

定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 竞赛常用定理

定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若α β，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n. 例2 已知数列{an}满足a1=【解】 因为a1=

1

,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an. 2

1

,又a1+a2=22·a2, 2

a a111，a3= 22 ,猜想an (n≥1). 3 23 4n(n 1)3 1

1

证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。

2 1

所以a2=

当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,， 所以

111

=k(k+2)ak+1,

2 13 2k (k 1)11111即1 =k(k+2)ak+1,

223kk 1k1所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=.

k 1(k 1)(k 2)

1

. 由数学归纳法可得猜想成立，所以an

n(n 1)

1

例3 设0<a<1，数列{an}满足an=1+a, an-1=a+，求证：对任意n∈N+,有an>1.

an

【证明】 证明更强的结论：1<an≤1+a. 1)当n=1时，1<a1=1+a，①式成立；

2)假设n=k时，①式成立，即1<an≤1+a，则当n=k+1时，有

1 a ak 1

111 a a21 a a a 1.

1 a1 a1 aak

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

2．迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q 0，求证：存在常数c，使得

2n2

an 1 pan 1·an+qan cq 0.

2222【证明】an 1 pan 1·an+1+qan 1 an 2(pan+1+an+2)+qan 1=an+2·(-qan)+qan 1=

2222q(an 1 anan 2) q[an 1+an(pqn+1+qan)]=q(an 1 pan 1an qan).

222若a2 pa2a1 qa12=0，则对任意n, an 1 pan 1an+qan=0，取c=0即可.

222若a2 pa2a1 qa12 0，则{an 1 pan 1an+qan}是首项为a2 pa2a1 qa1，公式为q的等比

2

2

数列。

22n所以an1)·q. 1 pan 1an+qan=(a2 pa2a1 qa

2

2

取c (a2 pa1a2 qa1)·综上，结论成立。

22

1

即可. q

2

例5 已知a1=0, an+1=5an+24an 1，求证：an都是整数，n∈N+. 【证明】 因为a1=0, a2=1，所以由题设知当n≥1时an+1>an. 又由an+1=5an+24an 1移项、平方得

22an 1 10anan 1 an 1 0. ①

2

当n≥2时，把①式中的n换成n-1得an 10anan 1 an 1 1 0，即

22

22an 1 10anan 1 an 1 0. ②

2因为an-1<an+1，所以①式和②式说明an-1, an+1是方程x2-10anx+an-1=0的两个不等根。由韦达定理得

an+1+ an-1=10an(n≥2).

再由a1=0, a2=1及③式可知，当n∈N+时，an都是整数。 3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

1

(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.

4n 2100

112 2100 4n 4100 n1

【解】 因为an+a100-n=n+=， 100100 n100100100n100 n100

4 24 24 2 2(4 4)2

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