2011中考数学试题真题

2011年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷

数 学

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（每小题所给出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确选项的标号填入题后的括号内。每小题3分，共24分。） 1. （2011内蒙古赤峰，1，3分）－4的相反数是 （ ）

1

A．4

1B．－

4

C．4

D．－4

【答案】C

2. （2011内蒙古赤峰，2，3分）下列运算正确的是 （ ）

A．m3 m2 m5 B．2m+3n=5mn C． m6 m2 m3 D．(m n)2 m2 n2 【答案】A

3. （2011内蒙古赤峰，3，3分）下列图形中，∠1一定大于∠2的是（ ）

1A

【答案】C

2

2C

D

4. （2011内蒙古赤峰，4，3分）不等式组

x+2>0

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

x－2≤0

A

． B

．C

．D

． 【答案】B

5.（2011内蒙古赤峰，5，3分）在下面四个几何体中，主视图、俯视图、左视图都相同的几何体的个数是 （ ）

C．3个

D．4个

A．1个 B．2个

【答案】B

6. （2011内蒙古赤峰，6，3分）在体育课上，初三年级某班10名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：9，14，10，15，7，9，16，10，11，9，这组数据的众数、中位数、平均数依次是 （ ）

A．10，8，11 B．10，8，9 C．9，8，11 D．9，10，

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11

【答案】D

7. （2011内蒙古赤峰，7，3分）早晨，小张去公园晨练，下图是他离家的距离y(千米)与

时间t(分钟)的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是 （ ）

A．小张去时所用的时间多于回家所用的时间

C．小张去时的速度大于回家的速度 坡路 【答案】C

x(分钟)

B．小张在公园锻炼了20分钟

D．小张去时走上坡路，回家时走下

8. （2011内蒙古赤峰，8，3分）如图，在△ABC中，AB=20㎝，AC=12㎝，点P从点B出发以每秒3㎝的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2㎝的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是 （ ） A． 2.5 B．3秒 C．3.5秒

D．4秒

【答案】D 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

9. （2011内蒙古赤峰，9，3分）分解因式：a 6a 9 _____________。 【答案】(a 3)

10.（2011内蒙古赤峰，10，3分）太阳的半径约是697 000 000米，用科学记数法表示为_____________。 【答案】6.97 10

11.（2011内蒙古赤峰，11，3分）已知点A（－5，a），B(4，b)在直线y=-3x+2上，则a______b。（填“＞”、“＜”或“=”号） 【答案】＞

12.（2011内蒙古赤峰，12，3分）如图：AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C处，连结BC，那么BC的长为_____________。

'

'

'

82

2

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60°

B

D

C

【答案】3

13.（2011内蒙古赤峰，13，3分）对甲、乙、丙三名射击手进行20次测试，平均成绩都是

222

8.5环，方差分别是s甲 0.4，s乙 3.2，s丙 1.6，在这三名射击手中成绩比较稳定的是

____________ 【答案】甲

14.（2011内蒙古赤峰，14，3分）化简

mm 3

6m 9

2

2m 3

的结果是____________。

【答案】1

15.（2011内蒙古赤峰，15，3分）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A、B两点，PC切半圆于点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为_____________。

【答案】4

16. （2011内蒙古赤峰，16，3分）如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF 沿AB方向平

移到△EBD的位置， 点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____________。

A

【答案】10 三、解答题：（本大题共9个小题，满分102分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （2011内蒙古赤峰，17，12分） （1）计算：

2 1) ()

3

1

1

tan60 （2）解方程：

x2x

= +1 x+13x+3

【答案】解：（1）原式＝2＋1－3＋3 （2）方程的左右两边同时乘以最

简公分母3（x＋1）＝3 得：3x＝2x＋3x＋3

3

∴x＝－

2

3

检验：把x＝－代入最简公分

2

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母3（x＋1）中得：

3（x＋1）≠0

3

∴x ＝－是原方程的解。

2

18. （2011内蒙古赤峰，19，10分）如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测得空投地点C的俯角 =60°，测得地面指挥台B的俯角 =30°。已知BC的距离是2000米，求此时飞机的高度（结果保留根号）

A

【答案】解：如图

过A点作AD⊥BC与BC的延长线交于点D。 ∵AF∥BD ， ∴∠B=∠ =30°。 又∵∠ = 60°，∠ =30° ∴∠BAC=30°=∠B ∴AC = BC = 2000 在Rt△ACD中， ∠ACD=∠ ＋∠B= 60° ∵sin 60°=

ADAC

D

。

3∴AD=AC sin 60°3

2

答：此时飞机的高度是10003 m

19. （2011内蒙古赤峰，19，10分）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，

能盈利80﹪，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元。 （1）求这种玩具的进价。

（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1﹪） 【答案】解：（1）设这种玩具的进价是x元，根据题意得： x（1+80﹪）=36 解之得：x=20

答：这种玩具的进价为20元。

（2）设平均每次降价的百分率为y ，根据题意得：

1y 36(

2

) 25

2011中考数学试题真题

解之得： y1 16.7﹪,y2

116

（不合题意，舍去）

∴y=16.7﹪

答：平均每次降价的百分率为16.7﹪

20. （2011内蒙古赤峰，20，10分）如图，点D在双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点

C在AD上，CB平行于x轴交双曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：

AD=1：3，点C的坐标为（2，2）。 （1） 求该双曲线的解析式； （2） 求△OFA的面积。

【答案】解：（1）∵点C的坐标为（2，2）； ∴OA=2，AC=2． ∵AC：AD=1：3 ∴AD = 6

∴点D的坐标为（2，6） ； 设该双曲线的解析式为y ∴k =2×6 =12

∴该双曲线的解析式为y

12xkx

；

；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)； ∵B点的纵坐标为2，且B点在双曲线y ∴

12x 2

12x

上。

∴ x= 6

∴B点的坐标为（6，2），A点的坐标为（2，0） ；

6k+b=2∴ 2k+b=0

k=1解之得： 2

b=-1

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1

∴直线AB的解析式为y= x－1 ；

2∵直线AB与y轴的交点为F ； ∴F点的坐标为（0，－1）。 ∴OF =1，

1

∴△OFA的面积=×OA·OF = 1

2

21. （2011内蒙古赤峰，21，10分）在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，小明从中随机摸出一张记下牌面上的数字为x，然后放回洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数（x，y）。

（1）用列表法或树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果； （2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率。 【答案】解：

（1）画树状图，如图：

开始

小明：

2

34

5

小华：2

345234523452

3

45

（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）出现的结果为：

(3，2)、（3，3）、（3，4）、（3，5）

（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）

（2）∵x=2，y=3或x=3，y=2是方程x+y=5的解 ∴概率P（x+y=5）=

21= 168

22. （2011内蒙古赤峰，22，12分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O2经过⊙O1的圆心O1，两圆的连心线交⊙O1于点M，交AB于点N，连结BM，已知AB=2

（1）求证：BM是⊙O2的切线； （2）求 AM的长。

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【答案】解：如图，连结O2B

∵⊙O1和⊙O2是等圆，且O1在⊙O2上。

∴点O2也在⊙O1上。 ∵O1O2是两圆的连心线 ∴MO2是⊙O1的直径 ∴∠MBO2=90°

又∵直线BM经过半径的O2B的外端； ∴直线BM是⊙O2的切线 （2）连结O1A、O1B

∵点B既在⊙O1上，又在⊙O2上 ∴O1O2=O1B=O2B ∴∠NO1B=60° ∵O1O2是两圆的连心线

11∴O1O2⊥AB，BN=AB=×23=3

22在Rt△

NO1B中，sin60°=∵O1M=O1B

11

∴∠O1MB =∠O1BM=BO1N =60°=30°

22∴在Rt△MBN中，∠MBN= 60° ∴∠MO1A=120°

NBO1B

2

,O1B=2

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∴AB

n R180

120 2180

43

23. （2011内蒙古赤峰，23，12分）为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出。有甲乙两种票，已知甲乙两种票的单价比为4：3，单价和为42元。 （1）甲、乙两种票的单价分别是多少元？

（2）学校计划拿出不超过750元的资金，让七年级一班的36名学生首先观看，且规定购买甲种票必须多于15张，有哪几种购买方案？

【答案】解：（1）设甲乙两种票的单价分别是x元、y元，根据题意得：

x:y=4:3

x=24

x+y=42

解得：

y=18

答：甲乙两种票的单价分别是24元、18元。 （2）设买甲种票a张，则买乙种票（36－a）张。

24a＋18(36－a)≤750 a＞15

解得：15＜a≤17 ∴a取16、17。

① 甲种票买16张，乙种票买20张；

② 甲种票买17张，乙种票买19张。 答：有上述两种购买方案。

24. （2011内蒙古赤峰，24，12分）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y ax2 bx 3a经过点A、B，顶点为C，连结CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称。 （1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标； （2）求证：四边形ABCD是直角梯形。

【答案】解：（1）∵直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点。

当y=0时，x=－3，∴点A的坐标为（－3，0）

当x =0时，y= 3，∴点B的坐标为（0，3）

把A（－3，0）、B（0，3）代入y ax bx 3a中得：

9a－3b-3a=0

－3a=3 a=－1解得

b=－2

2

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∴抛物线的解析式为y x2 2x 3 ∵y x2 2x 3 (x 1)2 4 ∴C点的坐标为（-1，4）。

（2）证明：

方法（一）∵A（－3，0）、B（0，3）、C（-1，4）; ∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1.

在Rt△AOB中，AB2 OA2 OB2 32 32 18；

在Rt△ANC中， AC2 AN2 CN2 22 42 20； 在Rt△CMB中，CB2 CM2 MB2 12 12 2； ∴AC2 AB2 CB2，∴∠ABC=90°

∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°； ∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°； ∴DC∥AB ； ∵AD≠CB ；

∴四边形ABCD是直角梯形 方法（二）：设直线BC的解析式为y=mx+3； 把C（-1，4）代入，得m=－1；

∴直线BC的解析式为y=－x+3；

当y=0时，x=3，则E点的坐标为（3，0），即OE=3 ； ∵A（－3，0）、B（0，3）； ∴OA=OB=OE=3 。 ∵∠BOA=∠BOE =90°

∴∠BAO=∠ABO=∠OEB =∠OBE=45°； ∴∠ABE=90°；

∴∠ABC=90°；

∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°； ∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°； ∴DC∥AB ； ∵AD≠CB ；

∴四边形ABCD是直角梯形

25. （2011内蒙古赤峰，25，14分）如图（图1、图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，FN⊥BC，交BC的延长线于点N。

（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？为什么？ （2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x, △ECF的面积为y。 ①求y与x的函数关系式；

②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值。

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NE

【答案】解：（1）相等。

理由：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点 ∴∠B=∠DCN=90°. AB=BC=2BE， ∴∠BAE+∠BEA=90°. ∵∠AEF=90°

∴∠AEB+∠FEC=90°.， ∴∠BAE=∠FEN.

∵CF是∠DCN的角平分线，∠FNC=90°。 ∴∠FCN=∠CFN=45°.

∴FN=CN.

在Rt△ABE和Rt△ENF中

BEFN1

tan∠BAE=tan∠FEN = =

ABEN2

∴EN=2FN，∴EC＋CN=2CN，∴FN=BE . ∴Rt△ABE≌Rt△ENF. ∴AE=EF.

方法二：如图，取AB的中点M，连结ME. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠B=∠DCN=90°， ∵点E是BC的中点 ∴AM=MB=BE=EC

在Rt△MBE中，∠BME=∠BEM=45°. ∴∠AME=135°；

∵CF是∠DCN的角平分线， ∴∠FCN=45°. ∴∠ECF=135°. ∴∠AME=∠ECF ； ∵∠AEF=90° ； ∴∠AEB+∠FEC=90° ；

在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°. ∴∠BAE=∠FEN ；

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∴△AME≌△ECF ； ∴AE=EF 。

（2）①tan∠BAE= tan∠FEN = BECN

= ;

BE+ECEC+CN ∴BE(EC+CN)=CN(BE+EC) ;

∴BE·EC＋ BE·CN = BE·CN ＋CN·EC ;

∴BE·EC = CN·EC ; ∴BE = CN ; ∴BE =FN = x ，

∴y

12

EC FN 12

2

BEFN

= ; ABEN

12

(4 x) x 12

2

12

x 2x。

2

②y x 2x (x 2) 2

当x =2时，y有最大值为2.