数学

R A(理)

§7.2 二元一次不等式(组)与简 单的线性规划问题第七章 不等式、推理与证明

基础知识·自主学习要点梳理知识回顾 理清教材

1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地， 二元一次不等式 Ax+By+ C>0 在平面直角坐标系中 表示直线 Ax+By+C= 0 某一侧所有点组成的 平面区域 .我们 把直线画成虚线以表示区域 不包括 边界直线 .当我们在坐标 系中画不等式 Ax+By+ C≥ 0 所表示的平面区域时，此区域应 包括 边界直线，则把边界直线画成 实线 . (2)由于对直线 Ax+ By+ C= 0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐 标 (x, y)代入 Ax+By+ C,所得的符号都 相同 ，所以只需在 此直线的同一侧取一个特殊点(x0, y0)作为测试点，由 Ax0+ By0 + C 的 符号 即可判断 Ax+ By+C>0 表示的直线是 Ax+ By+ C = 0 哪一侧的平面区域 .基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习要点梳理2.线性规划相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 意义 由变量 x, y组成的一次不等式 由 x, y的 一次 不等式(或方程 )组成 的不等式组 欲求 最大值 或 最小值 的函数 关于 x, y的 一次 解析式知识回顾 理清教材

基础知识

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思想方法

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可行解 可行域 最优解

满足 线性约束条件 所有 可行解 使目标函数取得

的解

组成的集合

最大值

或

最小值 的可行解在线性约束条件下求线性目标函 数的 问题题型分类 思想方法 练出高分

线性规划 问题

最大值

或

最小值

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3.应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形. (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后 的直线，从而确定最优解. (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或 最小值.基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习夯基释疑夯实基础 突破疑难

题号1 2 3 4 5

答案(1)× (2) √ (3) × (4) √(5) √ (6) ×

解析

C C

C2

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 若不等式组 x≥ 0, x+ 3y≥4, 3x+y≤4

所表示的平面

4 区域被直线y=kx+ 分为面 3 积相等的两部分，则k的值是 ( 7 A. 3 3 B. 7 4 C. 3 3 D. 4思想方法 练出高分

)

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题型分类·深度剖析题型一 二元一次不等式(组)表示的平

面区域思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 若不等式组 x≥ 0, x+ 3y≥4, 3x+y≤4

所表示的平面

画出平面区域，显然点 4 0 , 在已知的平面区域 3 内，直线系过定点 4 0 , ,结合图形寻找直 3 线平分平面区域面积的 条件即可 .思想方法 练出高分

4 区域被直线y=kx+ 分为面 3 积相等的两部分，则k的值是 ( 7 A. 3 3 B. 7 4 C. 3 3 D. 4 )

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题型分类·深度剖析题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 若不等式组 x≥ 0, x+ 3y≥4, 3x+y≤4

不等式组表示的平面区域如图所 示.

所表示的平面

4 区域被直线y=kx+ 分为面 3 积相等的两部分，则k的值是 ( 7 A. 3 3 B. 7 4 C. 3 3 D. 4 ) 4 4 由于直线 y=kx+ 过定点 0, . 3 3

因此只有直线过 AB 中点时， 直线 4 y=kx+ 能平分平面区域. 3思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 若不等式组 x≥ 0, x+ 3y≥4, 3x+y≤4

所表示的平面

因为 A(1,1),B(0,4), 1 5 所以 AB 中点 D , . 2 2 1 5 4 当 y=kx+ 过点 , 时， 3 2 2 5 k 4 = + , 2 2 3

4 区域被直线y=kx+ 分为面 3 积相等的两部分，则k的值是 ( 7 A. 3 3 B. 7 4 C. 3 3 D. 4 )

7 所以k= . 3思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 若不等式组 x≥ 0, x+ 3y≥4, 3x+y≤4

所表示的平面

因为 A(1,1),B(0,4), 1 5 所以 AB 中点 D , . 2 2 1 5 4 当 y=kx+ 过点 , 时， 2 2 3 5 k 4 = + , 2 2 3

4 区域被直线y=kx+ 分为面 3 积相等的两部分，则k的值是 7 A. 3 3 B. 7 4 C. 3 ( A ) 3 D. 4

7 所以k= . 3思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 若不等式组 x≥ 0, x+ 3y≥4, 3x+y≤4

二元一次不等式 (组 )表示平面 区域的判断方法： 直线定界，测试点定域 . 注意不等式中不等号有无等号 , 无等号时直线画成虚线，有等 号时直线画成实线 .测试点可以 选一个，也可以选多个 ,若直线 不过原点 ,则测试点常选取原点 .思想方法 练出高分

所表示的平面

4 区域被直线y=kx+ 分为面 3 积相等的两部分，则k的值是 7 A. 3 3 B. 7 4 C. 3 ( A ) 3

D. 4

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题型分类·深度剖析跟踪训练 1 如图，在平面直角坐标系中，已知 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(0,1), B(- 2,2) , C(2,6),试写出△ABC 及其内部区域所对应的二元一 次不等式组.解 由已知得直线 AB、BC、CA 的方程分别为直线 AB:x+2y -2=0,直线 BC:x-y+4=0,直线 CA:5x-2y+2=0,

∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端， x-y+4≥0 结合式子的符号可得不等式组为 x+2y-2≥0 . 5x-2y+2≤0 基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析题型二 求线性目标函数的最值思维启迪 解析 思维升华

【例2】

设x,y满足约束 ，

x- 4y≤- 3 条件： 3x+5y≤25 x≥ 1

求z=x+y的最大值与最 小值.

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题型分类·深度剖析题型二 求线性目标函数的最值思维启迪 解析 思维升华

【例2】

设x,y满足约束

x- 4y≤- 3 条件： 3x+5y≤25 x≥ 1

作可行域后，通过平移直线,

l0: x+ y=0来寻找最优解， 求出目标函数的最值 .

求z=x+y的最大值与最 小值.

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题型分类·深度剖析题型二 求线性目标函数的最值思维启迪 解析 思维升华

先作可行域，如图所示中△ABC

【例2】

设x,y满足约束 ，

x- 4y≤- 3 条件： 3x+5y≤25 x≥ 1

的区域，且求得 A(5,2)、 B(1,1)、 22 C(1, ),作出直线 l0:x+y=0, 5

求z=x+y的最大值与最 小值.

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