二次函数在几何问题中的实用举例

二次函数在几何问题中的实用举例

第一、课题: 二次函数在几何问题中的实用举例 函数在实际问题中的应用是高中数学的一个重点内容，也是历年高考的必考内容。而二次函数的应用较为广泛，在几何问题中的应用是它的一种基本题型。

本节课主要采用观察图形中变量的变化关系，建立数学模型，利用函数的性质来解决实际问题。

二、教学模式

1、 观察图形：通过多媒体显示的图形、动画，

观察变量的关系。

2、 建立模型：在观察的基础上，归纳出函数的

关系。

3、 利用函数的性质解决实际问题。

三、教学目标

1、 会利用图形找出函数关系。

2、 能在图形中找出变量的变化范围。

3、 掌握二次复合函数极值的求法。

4、 使学生能运用换元思想解决极值问题。

二次函数在几何问题中的实用举例

四、教学重点、难点

1、 如何建立函数关系。

2、 如何确定函数定义域。

3、 部分二次复合函数极值的求法。

五、教学关键

引导学生找出变量关系，并用动画显示出变量变化范围。

六、教学方法：启发式

七、课型：新授课

八、课时安排：一课时

九、教具：多媒体投影仪

十、教学过程：

（一）、引入新课

复习二次、指数、对数函数的单调性、定义域、值域，提出函数除了理论知识以外，还有其实用价值，引出新课。

（二）、讲授新课

例：（用多媒体显示图形1）（读题）如图，有一块半

二次函数在几何问题中的实用举例

径为R的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，其下底AB是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，问如何裁剪才能使梯形的周长最大？

[分析]（动画演示梯形ABCD的

周长随着

C、D两点位置的变化的变化情

况，由学

生猜想C、D处于何种位置时，周长会最 大？怎样确定的？引出建立函数的必要性）

设AD=X，周长为Y，则可用X 将CD表示出，从而建立Y与X之间的函数关系。可利用函数的单调性将极值求出。

[板书]解：（多媒体显示图2）

设AD=BC=X（0〈X R〉（提问学生为什么）

作DE⊥AB于E，连BD

∠ADB=90o

∴AD2=AE×

AB

二次函数在几何问题中的实用举例

即：AE=X2/2R

∴CD=AB-2AE=2R- X2/R

∴Y=- X2/R+2X+4R（0<X< R）

∴X=R时，函数Y=- X2/R+2X+4R取得最大值 ∵R∈（0，√2 R）

∴当腰长等于R时，周长最大。

（三）、课后练习

[板书] 1、在上述例题中，若设CD=X，列出周长与X之间的关系式，并求出定义域与周长最大值。

2、一块直径为d 的圆形木板，要将其截成一块对角线长为d的长方形木板，问如何截才能使长方形木板的面积最大？

3、如图，在一块三角形区域ABC内

建一个长方形公园EFGH，其中EF在

BC上，H、G分别在AB与AC上，

已知BC=500米，高AD=300米，问

如何建立才能使ABCD面积最大？

（以上习题有针对性地找学生到黑板解答，对1、2

二次函数在几何问题中的实用举例

题函数极值的求法给予适当的引导。）

（四）、小结

本节主要学习了利用二次函数解决几何实际问题，在解决此类问题±时，应先找出所求量与哪些量存在关系以及存在何种关系，据此设出变量，列出函数关系式，并注意实际问题中的变量的取值范围。同时，对本节所学的形如Y=a+bx±√与Y=x√ 的函数据极值的求法应注意掌握。

（五）、布置作业

《随课训练》P112页第七题和第十题。666