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第七节空间向量在立体几何中的应用

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合]

1．两个重要向量

(1)直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．

(2)平面的法向量

直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．

[探究] 1.在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？

提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．2．空间位置关系的向量表示

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3.两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝

|a ·b ||a||b |

(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．

4．直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n ·e ||n||e|

.

5．求二面角的大小

(1)如图①，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝

〈AB ，CD 〉．

(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．

[探究] 2.两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？

提示：两向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦

⎤0，π2；直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦

⎤0，π2；二面角的范围是[0，π]，注意以上各角取值范围的区别． 6．点到平面的距离的向量求法

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如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离d ＝|AB ·n |

|n |.

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)两条不重合的直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1，－1,2)，v 2＝(0,2,1)，则l 1与l 2的位置关系是( )

A ．平行

B ．相交

C ．垂直

D ．不确定

解析：选C ∵v 1·v 2＝1×0＋(－1)×2＋2×1＝0，

∴v 1⊥v 2，从而l 1⊥l 2.

2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( )

A ．l ∥α

B ．l ⊥α

C ．l ⊂α

D ．l 与α斜交

解析：选B ∵a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)

∴n ＝－2a ，即a ∥n .

∴l ⊥α.

3．若平面α、β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( )

A ．α∥β

B ．α⊥β

C ．α、β相交但不垂直

D ．以上均不正确

解析：选C ∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n 1与n 2不垂直，∴α与β相交但不垂直．

4．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．

解析：cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11×2＝22

， 即〈m ，n 〉＝45°，其补角为135°.

∴两平面所成的二面角为45°或135°.

答案：45°或135°

5．若平面α的一个法向量为n ＝(2,1,2)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－1,1,1)，则l 与α所成的角的正弦值为________．

解析：设直线l 与平面α所成的角为θ，则

sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n |·|a |

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＝|－1×2＋1×1＋1×

2|(－1)2＋12＋12·22＋12＋2

2

＝39. 答案：

39

[例1] 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E 、F 、E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．

(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ；

(2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .

[自主解析] 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设BC ＝1，

则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝⎛⎭

⎫1，12，2. (1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵11C E ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，1FC ＝(－1,0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·11C E ＝0，n ·1FC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

x －12y ＝0，－x ＋z ＝0. 取n ＝(1,2,1)．

∵CE ＝(1，－1,1)，n ·

CE ＝1－2＋1＝0， ∴CE ⊥n .

又∵CE ⊄平面C 1E 1F ，

∴CE ∥平面C 1E 1F .

(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，

由EF ＝(0,1,0)，FC ＝(－1,0，－1)，

∴⎩⎨⎧ m ·EF ＝0，m ·FC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

b ＝0，－a －

c ＝0.

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取m ＝(－1,0,1)．

∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，

∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF

.

保持例题条件不变，求证：CF ⊥平面C 1EF .

证明：由例题可知，E (1,0,1)，F (1,1,1)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，

∴CF ＝(1,0,1)，1C F ＝(1,0，－1)，EF ＝(0,1,0)．

∴CF ·

1C F ＝1×1＋0×0＋1×(－1)＝0， CF ·EF ＝1×0＋0×1＋1×0＝0.

∴CF ⊥1C F ，CF ⊥EF .

∴CF ⊥C 1F ，CF ⊥EF .

∵C 1F ∩EF ＝F ，

∴CF ⊥平面C 1EF .

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1.向量法证明空间平行或垂直的关键点

利用向量法证明空间中的平行或垂直的问题时，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上.

2.向量法证明线面平行的注意点

用向量法证线面平行可以证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线(平行)向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法

.

1．(2013·安徽师大附中模拟)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面

ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．

(1)求证：AF ∥平面BCE ；

(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .

解：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系A －xyz ，

则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．

∵F 为CD 的中点，

∴F ⎝⎛⎭

⎫32a ，32a ，0. (1)证明：AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，