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第七节空间向量在立体几何中的应用

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合]

1．两个重要向量

(1)直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．

(2)平面的法向量

直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．

[探究] 1.在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？

提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．2．空间位置关系的向量表示

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3.两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝

|a ·b ||a||b |

(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．

4．直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n ·e ||n||e|

.

5．求二面角的大小

(1)如图①，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝

〈AB ，CD 〉．

(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．

[探究] 2.两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？

提示：两向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦

⎤0，π2；直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦

⎤0，π2；二面角的范围是[0，π]，注意以上各角取值范围的区别． 6．点到平面的距离的向量求法

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如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离d ＝|AB ·n |

|n |.

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)两条不重合的直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1，－1,2)，v 2＝(0,2,1)，则l 1与l 2的位置关系是( )

A ．平行

B ．相交

C ．垂直

D ．不确定

解析：选C ∵v 1·v 2＝1×0＋(－1)×2＋2×1＝0，

∴v 1⊥v 2，从而l 1⊥l 2.

2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( )

A ．l ∥α

B ．l ⊥α

C ．l ⊂α

D ．l 与α斜交

解析：选B ∵a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)

∴n ＝－2a ，即a ∥n .

∴l ⊥α.

3．若平面α、β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( )

A ．α∥β

B ．α⊥β

C ．α、β相交但不垂直

D ．以上均不正确

解析：选C ∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n 1与n 2不垂直，∴α与β相交但不垂直．

4．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．

解析：cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11×2＝22

， 即〈m ，n 〉＝45°，其补角为135°.

∴两平面所成的二面角为45°或135°.

答案：45°或135°

5．若平面α的一个法向量为n ＝(2,1,2)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－1,1,1)，则l 与α所成的角的正弦值为________．

解析：设直线l 与平面α所成的角为θ，则

sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n |·|a |

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＝|－1×2＋1×1＋1×

2|(－1)2＋12＋12·22＋12＋2

2

＝39. 答案：

39

[例1] 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E 、F 、E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．

(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ；

(2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .

[自主解析] 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设BC ＝1，

则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝⎛⎭

⎫1，12，2. (1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵11C E ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，1FC ＝(－1,0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·11C E ＝0，n ·1FC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

x －12y ＝0，－x ＋z ＝0. 取n ＝(1,2,1)．

∵CE ＝(1，－1,1)，n ·

CE ＝1－2＋1＝0， ∴CE ⊥n .

又∵CE ⊄平面C 1E 1F ，

∴CE ∥平面C 1E 1F .

(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，

由EF ＝(0,1,0)，FC ＝(－1,0，－1)，

∴⎩⎨⎧ m ·EF ＝0，m ·FC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

b ＝0，－a －

c ＝0.

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取m ＝(－1,0,1)．

∵m ·n ＝1×(－1 …… 此处隐藏：1172字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……