第四章 4.1-4.2 复数项级数与复变函数项级数

第四章 解析函数的级数表示§4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数

§4.1 复数项级数一、复数序列 二、复数项级数

一、复数序列1. 基本概念 定义 设 z n 为复数，称 { zn }n 1 , 2 , 为复数序列。

极限 设 { zn }n 1 , 2 , 为一复数序列，又设 a 为一确定的复数， 如果对任意给定的 e > 0,相应地存在自然数 N, 使得当 n > N 时，总有 | zn - a | < e 成立，则称复数序列 { zn } 收敛于复数 a,或称 a 为复数序列 { zn } 的极限，记作n

lim z n a , 或 zn a , ( n ) .

如果复数序列 { zn } 不收敛， 则称 { zn } 发散。3

一、复数序列2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是P78 定理 4.1n n

lim xn , lim yn .n

证明 必要性 “ ” 若 lim z n a , 则 e 0 , N ,n

| zn - a |

zn| yn - |

a

当 n N 时，| zn - a | e ,

| xn - |

| x n - | | z n - a | e , | yn - | | z n - a | e ,

lim xn , lim yn .n n

充分性 “ (略) ”

i 例 设 z n i , 讨论序列{ zn } 的收敛性。 nn

i 解 zn i e nn

π in 2

nπ nπ 1 i cos i (sin ). 2 2 n n

nπ nπ 1 } 或 {sin }发散， 即得 { zn } 也发散。 由 {cos 2 2 n附 考察实序列 { | zn | } 的收敛性。n 已知 | z n | i

i , 根据复数模的三角不等式有 n 1 1 1 - | zn | 1 , lim | zn | 1 , n n n5

故序列 { | zn | } 收敛。

注 (1) 序列 { | zn | } 收敛 (2) lim | zn | 0n

序列 { z n } 收敛；n

lim zn 0 .

10000 n n i , 讨论序列 { zn } 的收敛性。 例 设 zn n! 10000 n 解 lim | z n | lim 0, n n n!即序列 { zn } 收敛。

lim zn 0 ,n

二、复数项级数1. 基本概念 定义 设 { zn }n 1 , 2 , 为一复数序列，

(1) 称 z n z1 z 2 为复数项级数， 简记为 z n .n 1

(2) 称 sn z k z1 z 2 z n 为级数的部分和；k 1

n

(3) 如果序列 { sn } 收敛，即 lim sn s , 则称级数收敛，n

并且极限值 s 称为级数的和；(4) 如果序列 { sn } 不收敛，则称级数发散。7

二、复数项级数2. 复数项级数收敛的充要条件 定理 设 zn xn i yn , 则级数 z n 收敛的充分必要条件是P80 定理 4.1

级数 x n 和 yn 都收敛。

3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .P80 定理4.3n

1 i 例 设 zn n , 讨论级数 zn 的收敛性。 P81 例4.2 部

分 n 2

1 解 级数 n 收敛， n 1 2

a n , | a | 1 时收敛 几何级数 n 1

1 1 p 级数 p , 但级数 发散， n 1 n n 1 n

p 1 时发散

因此级数 z n 发散。

1 n 例 设 zn 2 i , 讨论级数 zn 的收敛性。 P81 例4.2 部分 n

1 n 1 解 zn 2 i 2 e n n

i

π n 2

1 πn 1 πn 记为 x n i yn , 2 cos i 2 sin 2 2 n n由于级数 | xn | 和 | yn | 均为收敛， (绝对收敛) 故有级数 x n 和 yn 均收敛，即得级数 z n 收敛。 在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？10

二、复数项级数4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。P81

(2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。P80 定理4.4

定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。

in 例 设 z n , 讨论级数 z n 的收敛性。 n! n 0

解 由于 | zn | n 0

n 0

1 n! n 0

即 z n 绝对收敛，故 z n 收敛。n 011

in , 讨论级数 z n 的收敛性。 例 设 zn n n 1

分析 由于 | z n | n 0

n 0

1 发散， ( p 级数，比阶法) n

因此不能马上判断 z n 是否收敛。

in 1 πn 1 πn 记为 x n i yn , cos i sin 解 zn n n 2 n 2

1 1 1 xn - - 收敛， (莱布尼兹型的交错级数) 2 4 6 n 1 1 1 1 yn 1 - - 收敛， 故级数 zn 收敛。 3 5 7 n 112

小结

判别 z n 敛散性的常用方法: zn xn iynn 1

(1) 讨论 nlim z n 0 是否成立。 (2) 讨论 | zn | 的敛散性。 (3) 讨论 xn 和 yn 的敛散性。 (4) 利用定义，讨论级数部分和极限n

lim S n 是否存在。

§4.2 复变函数项级数一、基本概念 二、幂级数 三、幂级数的性质

一、基本概念1. 复变函数项级数 定义 设复变函数 f n (z ) 在区域 G 内有定义， (1) 称 { f n ( z )}n 1 , 2 , 为区域 G 内的复变函数序列。 (2) 称 f n ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) 为区域 G 内n 1

的复变函数项级数，简记为 f n ( z ) .

一、基本概念2. 复变函数项级数收敛的定义 定义 设 f n (z ) 为区域 G 内的复变函数项级数， (1) 称 sn ( z ) f k ( z ) 为级数 f n (z ) 的部分和。k 1 n

(2) 如果对 G 内的某一点 z0,有 lim sn ( z0 ) s( z0 ) , 则n

称级数 f n (z ) 在 z0 点收敛。 (3) 如果存在区域 D G, z D , 有 lim sn ( z ) s( z ) ,n

则称级数 f n (z ) 在区域 D 内收敛。 此时，称 s(z ) 为和函数，D 为收敛域。16