2019届九年级数学下册小专题(四)二次函数与几何图形综合练习(新版)湘教版

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1 小专题(四) 二次函数与几何图形综合

1．如图，抛物线y ＝13x 2＋23x －5与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C.若点E 为x 轴下方抛物线

上的一动点，当S △ABE ＝S △ABC 时，求点E 的坐标．

解：令y ＝13x 2＋23x －5＝0，即x 2＋2x －15＝0，

解得x 1＝－5，x 2＝3.

∴A(－5，0)，B(3，0)．

∴AB＝8.

令x ＝0，则y ＝－5，

∴C(0，－5)．∴OC＝5.

∴S △ABC ＝12AB·OC＝20.

设点E 到AB 的距离为h ，

∵S △ABE ＝S △ABC ，∴12×8·h＝20.∴h＝5.

∵点E 在x 轴下方，∴点E 的纵坐标为－5.

当y ＝－5时，13x 2＋23x －5＝－5.

∴x 1＝－2，x 2＝0(与点C 重合，舍去)．

∴E(－2，－5)．

2．如图，抛物线y ＝－12x 2＋12x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D(2，2)是抛物线上

一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

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2 解：令y ＝－12x 2＋12x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－2.

∴点A 的坐标为(－2，0)．

连接AD ，交对称轴于点P ，则P 为所求的点．

设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋t.将点A ，D 的坐标代入，得

⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋t ＝0，2k ＋t ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，t ＝1.

∴直线AD 的表达式为y ＝12x ＋1.

∵抛物线的对称轴为直线x ＝－12

2×（－12）

＝12，

将x ＝12代入y ＝12x ＋1，得y ＝54.

∴点P 的坐标为(12，54)．

3．如图，二次函数y ＝－x 2＋mx ＋n 的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y ＝－12x ＋b 经过点B ，且与二次函数y ＝－x 2

＋mx ＋n 交于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)点N 是二次函数图象上一点(点N 在BD 上方)，过N 作NP⊥x 轴，垂足为P ，交BD 于点M ，求MN 的最大值．

解：(1)∵二次函数y ＝－x 2＋mx ＋n 的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝－1－m ＋n ，

0＝－1＋m ＋n.

解得⎩

⎪⎨⎪⎧m ＝－2，

n ＝3. ∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3.

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3 (2)∵y＝－12x ＋b 经过点B ，

∴－12×1＋b ＝0.解得b ＝12.

∴y＝－12x ＋12.

设M(t ，－12t ＋12)，则N(t ，－t 2－2t ＋3)，

∴MN＝－t 2

－2t ＋3－(－12t ＋12)＝－t 2－32t ＋52＝－(t ＋34)2＋4916. ∴MN 的最大值为4916.

4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2

－4x －5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C.若点D 是y 轴上的一点，且以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点D 的坐标．

解：令y ＝x 2－4x －5＝0，

解得x 1＝－1，x 2＝5.

∴A(－1，0)，B(5，0)．

令x ＝0，则y ＝－5，∴C(0，－5)．

∴OC＝OB ，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.

∴AB＝6，BC ＝5 2.

要使以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，需有AB CD ＝BC BC 或AB BC ＝BC CD .

①当AB CD ＝BC BC 时，CD ＝AB ＝6，∴D(0，1)．

②当AB BC ＝BC CD 时，652＝52CD ，

∴CD＝253.

∴D(0，10

3)．

综上，点D 的坐标为(0，1)或(0，10

3)．

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5．如图，已知抛物线y ＝－x 2

－2x ＋3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点为P.若以A ，C ，P ，M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．

解：y ＝－x 2

－2x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3，

∴C(0，3)．

y ＝－x 2－2x ＋3中，令y ＝0，即－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1.

∴A(－3，0)，B(1，0)．

∵y＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，

∴顶点P 的坐标为(－1，4)．

如图，分别过△PAC 的三个顶点作对边的平行线，三条直线两两相交，

产生3个符合条件的点M 1，M 2，M 3.

∵AM 1∥CP ，且C(0，3)，P(－1，4)，A(－3，0)，∴M 1(－4，1)．

∵AM 2∥PC ，且P(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)，∴M 2(－2，－1)．

∵CM 3∥AP ，且A(－3，0)，P(－1，4)，C(0，3)，∴M 3(2，7)．

综上所述，点M 的坐标为(－4，1)或(－2，－1)或(2，7)．

6．如图，已知抛物线y ＝14x 2－12x －2与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右边)，与y 轴交于点C.

(1)求点A ，B ，C 的坐标；

(2)此抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

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解：(1)令y ＝0，得14x 2－12x －2＝0，

解得x 1＝－2，x 2＝4.

∴A(4，0)，B(－2，0)．

令x ＝0，得y ＝－2.

∴C(0，－2)．

(2)存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形．

设P(1，a)，

则AP 2＝a 2＋9，CP 2＝(a ＋2)2＋1＝a 2＋4a ＋5，AC 2＝20. ①当AP ＝CP 时，即a 2＋9＝a 2＋4a ＋5，

解得a ＝1.∴P 1(1，1)；

②当CP ＝AC 时，即a 2＋4a ＋5＝20，

解得a ＝－2±19.

∴P 2(1，－2＋19)，P 3(1，－2－19)；

③当AP ＝AC 时，即a 2

＋9＝20，

解得a ＝±11.∴P 4(1，11)，P 5(1，－11)． 综上所述，满足条件的点P 的坐标为P 1(1，1)，P 2(1，－2＋19)，P 3(1，－2－19)，P 4(1，

11)，P 5(1，－11)．