单级倒立摆系统的数字最优控制器设计与仿真(2)

控制系统

中文核心期刊《微计算机信息》（测控自动化）２００８年第２４卷第１０－１期

同时，还得到了倒立摆系统的输出单位阶跃响应（如图３所示），和倒立摆系统的状态单位阶跃响应（如图４所示）。通过对

其中，，，，两者的对比分析可以看出，不管是对系统的输出还是对各状态变量，所设计的数字最优控制器都能够保证其具有较好的稳定性和一定的鲁棒性能。

取采样时间模型为

进行离散化，可得倒立摆的离散系统

（５）

其中，，

３数字最优控制器设计

设计数字最优控制系统的目的是使多变量控制系统既获得鲁棒稳定性，又获得最优时域指标。设一个系统为复矩阵。

定理一个其中：阵，

维有理真分式非奇异复矩阵

恒可分解为

（６）

是对角的有理真分式复矩

图３倒立摆系统的输出单位阶跃响应

，

维数字控制器为

反馈控制系统。如果

是一个因果系统，则

维线性离散是一个有理分式

，控制系统是一个标准的

技术创新

是实常数酉矩阵，

是非奇异有理分式复矩阵。

由于倒立摆系统中不含有积分环节，为了得到输出的无静

差效果，需要在控制器中引入积分环节。由此可得加入控制器后的倒立摆最优控制系统如图２所示。图中代表含有积分环节的数字最优控制器，而代表含状态反馈的对象。

图２带有积分环节的数字最优控制器的单级倒立摆系统由图２可以得到增广后的离散状态方程

（７）

图４倒立摆系统的状态单位阶跃响应

５结束语

倒立摆系统是自动控制理论与工程研究的典型试验设备，一直是控制领域研究的热点。本文通过对单级倒立摆的简化模型的分析，为了使得系统的输出和各个状态变量都能够较快的达到稳定状态，并具有一定的鲁棒性能，设计了一种带有积分作用的数字最优控制器。最后通过仿真实验证明了该设计方法的有效性和优越性。

其中，，，

，使得目标函数

（７）

因此问题就变成了设计

最小。这里的加权矩阵目的是为了突出状态量

和

，，

，特别是表示位置的状态变

，因为它是所设计的数字最优控制器的最终目标。

４仿真实验与结果分析

为了验证设计的数字最优控制器的性能，在ＭＡＴＬＡＢ中进行仿真实验。得到最优反馈增益矩阵

参考文献

［１］ＢｉｌｌｉｎｇＳＡ，ＴｓａｎｇＫＭ．Ｓｐｅｃｔｒａｌａｎａｌｙｓｉｓｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ．ＰａｒｔＩｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｆｒｅｑｕｅｎｃｙｒｅｓｐｏｎｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｍｅ－

３５９ｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９８９，３（４）：３４１～

［２］ＺｈａｎｇＨ，ＢｉｌｌｉｎｇＳＡ．Ａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｔｒａｎｓｆｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｉｎ－ｅａｒｓｙｓｔｅｍｓｉｎｔｈｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄｏｍａｉｎ［Ｊ］．Ｊ．ＭｅｃｈａｎｉｓｍＳｙｓｔｅｍｓａｎｄ

５５０（下转第１６８页）ＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９９３，７（５）：５３１～

现场总线技术应用２００例》

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