第一章线性定常系统的状态空间描述及运动分析

马树萍

§1.1线性定常系统的传递函数描述传递函数描述的是系统的输入—输出关系，用它描述系统时，假定对系统结构的内部信息一无所知，能够得到的只是系统的输入信息和输出信息，这种情况下，对我们来说，系统的内部结构就像一个“黑箱”一样，因此，传递函数只能刻画系统的输入—输出特性，它被称为系统的输入-输出描述和外部描述。使用传递函数方法描述系统所用的数学工具主要是拉普拉斯(Laplace)变换，因此，它主要适用于描述线性定常系统。

§1.1-1单变量情形回顾已知由下列常系数微分方程描述的定常系统

y n+ a n 1 y ( n 1)+"+ a1 y (1)+ a 0 y= b u ( m )+ b u ( m 1)+" b u (1)+ b u m m 1 1 0

(1.1.1)

其中 y (t )叫做系统的输出，u (t )叫做系统的输入， t为时间，y (i ) d i y ( j ) d ju= i, u= j, ai, b j均为常数， i=0,1,…,n, dt dt

j= 0,1," m, m≤ n.3

§1.1-1单变量情形回顾假定y (0)= y (1) (0)="= y ( n 1) (0)= 0

u (0)= u (1) (0)="= u ( n 1) (0)= 0对(1.1.1)两边取拉普拉斯变换，得

(1.1.2)

( s n+ an 1s n 1+"+ a1s+ a0 ) y ( s )= (bm s m+ bm 1s m 1+"+ b1s+ b0 )u ( s )

则

(1.1.3)称为系统(1.1.1)的传递函数。传递函数为s的真有理分式，则称系统为物理能实现的。单输入—单输出系统的传递函数必为真有理分式。

y ( s ) bm s m+ bm 1s m 1+"+ b1s+ b0 G(s)== n u (s) s+ an 1s n 1+"+ a1s+ a0

§1.1-1单变量情形回顾

s+ an 1s+"+ a1s+ a0多项式为系统(1.1.1)的特征多项式， n n 1代数方程 s+ an 1s+"+ a1s+ a0= 0叫系统(1.1.1)的特征方程，特征方程的根或说特征方程的零点叫系统(1.1.1)的极点，多项式n

n 1

的零点，叫(1.1.1)的零点，若系统(1.1.1)有相同的零点和极点，则称系统有零极点相消，零极相消后剩下的系统的零点和极点分别为传递函数的零点和极点。

bm s m+ bm 1s m 1+"+ b1s+ b0

§1.1-2传递函数矩阵多输入—多输出的线性定常系统，令输入变量组为{u1, u2,", u p},输出变量组为{ y1, y2,", yq},且假定系统的初始变量为零。用y i ( s)和 u j ( s )分别表示 yi和 u j的拉普拉斯变换，表示系统的由第j个输入端到第i个输出端的传递函数，其中 i= 1," q,j= 1," p,则由系统的线性属性(即满足叠加原理)可以导出： y1 ( s)= g11 ( s )u1 ( s )+ g12 ( s )u2 ( s )+"+ g1 p ( s )u p ( s ) y ( s )= g ( s )u ( s )+ g ( s )u ( s )+"+ g ( s )u ( s ) 2 21 1 22 2 2p p " yq ( s )= g q1 ( s )u1 ( s )+ g q 2 ( s )u2 ( s )+"+ g qp ( s )u p ( s )

§1.1-2传递函数矩阵向量方程的形式为 y1 (

s ) g11 ( s ) g12 ( s )" g1 p ( s ) u1 ( s ) y ( s) g (s) g ( s)" g (s) u (s) 22 2p 2 2 = 21 Y (s)= # ### # = G ( s )U ( s ) g q1 ( s ) g q 2 ( s )" g qp ( s ) u p ( s ) yq ( s )

称 G ( s )为系统的传递函数矩阵。G ( s )为的一个有理分式矩阵。当 g ij ( s )除严格真还包含真有理分式时，即 G ( s )的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等的最高幂次时，称为真有理分式矩阵。

§1.1-2传递函数矩阵当且仅当 G ( s )为真的或严格真的时，它才是物理上可实现的。当且仅当 lim G ( s )=零阵 s→∞ G ( s )为严格真的， lim G ( s )=非零常阵 s→∞传递函数矩阵为真的。

§1.2线性定常系统的状态空间描述§1.2-1状态和状态空间系统的状态空间描述是建立在状态和状态空间概念的基础上的。定义1.1动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。组成这个变量组的变 xn (t )称为系统的状态变量，其中t≥ t0,",量 x1 (t ), x2 (t ), t0为初始时刻。由状态变量 x1 (t ) , t≥ t构成的列向量 x(t )= # 0 称为系统的状态向量，简称为状态。状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间。 xn (t )

§1.2-1状态和状态空间状态和状态空间的含义几点解释:①状态变量组可完全的表征系统行为：只要给定变量 x1 (t ), x2 (t )…, xn (t )在初始时刻 t0的值，以及输入变量 u1 (t ), u2 (t ),…,u p (t )在 t≥ t0各瞬时的值，则系统中任何一个变量在 t≥ t0时的运动行为也就随之完全的确定了。②状态变量组的最小性体现在：状态变量组x1 (t ), x2 (t ) ..., xn (t )是为完全表征系统行为所必需的系统向量的最少个数，减少变量数将破坏表征的完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为所不需要的。

§1.2-1状态和状态空间③状态变量组在数学上的特征体现在：状态变量组 x1 (t ), x2 (t ),xn (t )构成系统变量中线性无关的一个极大变量组。状态空间是建立在实数域上的向量空间，其维数为n。对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中的一个点；而状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹。④状态变量组包含了系统的物理特征：当组成状态的变量个数n为有穷正整数时，相应的系统为有穷维系统，且称n为系统的阶次；当为无穷大时，相应的系统则为无穷维系统。⑤状态变量组选取上的不唯一性。由于系统中变量的个数一般大于n,而其中仅有n个线性无关的，因此决定了状态变量

组在选取上的不唯一性。

§1.2-2动态系统的状态空间描述在引入了状态和状态空间概念的基础上，就可来建立动力学系统的状态空间描述。

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